基本介紹
- 中文名：因式分解
- 外文名：Factorization
- 步驟：把一個多項式化為幾個整式的積
- 是：恆等變形
- 歸屬學科：數學
- 作用：簡化問題，使解決起來更加快捷
基本概念：,定義,相關結論：,分解一般步驟,原則：,分解方法,提公因式法,公式法,十字相乘法,雙十字相乘法,解方程法,分組分解法,拆項補項法,配方法,因式定理法：,換元法,綜合除法,主元法,特殊值法,待定係數法,二次多項式,套用,多項式除法,高次方程求根,解一元二次不等式以及一元二次方程,化簡分式,梅森合數分解,例題,
基本概念：
定義
因式分解方法靈活，技巧性強。學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所需的，而且對於培養解題技能、發展思維能力都有著十分獨特的作用。學習它，既可以複習整式的四則運算，又為學習分式打好基礎；學好它，既可以培養學生的觀察、思維發展性、運算能力，又可以提高綜合分析和解決問題的能力。
相關結論：
- 基本結論：分解因式與整式乘法為相反。
- 高級結論：在高等數學上因式分解有一些重要結論，在初等數學層面上證明很困難，但是理解很容易。
1）因式分解與解高次方程有密切的關係。對於一元一次方程和一元二次方程，國中已有相對固定和容易的方法。在數學上可以證明，對於一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因為公式過於複雜，在非專業領域沒有介紹。對於分解因式，三次多項式和四次多項式也有固定的分解方法，只是比較複雜。對於五次以上的一般多項式，已經證明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也沒有固定解法。
2） 所有的三次和三次以上的一元多項式在實數範圍內都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多項式在複數範圍內都可以因式分解。這看起來或許有點不可思議。比如x4+1,這是一個一元四次多項式，看起來似乎不能因式分解。但是它的次數高於3，所以一定可以因式分解。也可以用待定係數法將其分解，只是分解出來的式子並不整潔。(這是因為，由代數基本定理可知n次一元多項式總是有n個根，也就是說，n次一元多項式總是可以分解為n個一次因式的乘積。並且還有一條定理：實係數多項式的虛數根兩兩共軛的，將每對共軛的虛數根對應的一次因式相乘，可以得到二次的實係數因式，從而這條結論也就成立了。)
3）因式分解雖然沒有固定方法，但是求兩個多項式的公因式卻有固定方法。因式分解很多時候就是用來提公因式的。尋找公因式可以用輾轉相除法來求得。標準的輾轉相除技能對於中學生來說難度頗高，但是中學有時候要處理的多項式次數並不太高，所以反覆利用多項式的除法也可以但比較笨，不過能有效地解決找公因式的問題。
4）因式分解是很困難的，國中所接觸的只是因式分解很簡單的一部分。
分解一般步驟
1、如果多項式的首項為負，應先提取負號；
這裡的“負”，指“負號”。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括弧內第一項係數是正的。
2、如果多項式的各項含有公因式，那么先提取這個公因式，再進一步分解因式；
要注意：多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式後，括弧內切勿漏掉1；提公因式要一次性提乾淨，並使每一個括弧內的多項式都不能再分解。
3、如果各項沒有公因式，那么可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；
4、如果用上述方法不能分解，再嘗試用分組、拆項、補項法來分解。
口訣：先提首項負號，再看有無公因式，後看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適。
原則：
1、分解因式是多項式的恆等變形，要求等式左邊必須是多項式。
2、分解因式的結果必須是以乘積的形式表示。
3、每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數。
4、結果最後只留下小括弧，分解因式必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止；
5、結果的多項式首項一般為正。 在一個公式內把其公因子抽出，即透過公式重組，然後再抽出公因子；
6、括弧內的首項係數一般為正；
7、如有單項式和多項式相乘，應把單項式提到多項式前。如(b+c)a要寫成a(b+c)；
8、考試時在沒有說明化到實數時，一般只化到有理數就夠了，有說明實數的話，一般就要化到實數。
口訣：首項有負常提負，各項有“公”先提“公”，某項提出莫漏1，括弧裡面分到“底”。
分解方法
因式分解主要有十字相乘法，待定係數法，雙十字相乘法，對稱多項式，輪換對稱多項式法，餘式定理法等方法，求根公因式分解沒有普遍適用的方法，國中數學教材中主要介紹了提公因式法、運用公式法、分組分解法。而在競賽上，又有拆項和添減項法式法，換元法，長除法，短除法，除法等。
提公因式法
如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。
具體方法：在確定公因式前，應從係數和因式兩個方面考慮。當各項係數都是整數時，公因式的係數應取各項係數的最大公約數字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的。當各項的係數有分數時，公因式係數為各分數的最大公約數。如果多項式的第一項為負，要提出負號，使括弧內的第一項的係數成為正數。提出負號時，多項式的各項都要變號。
基本步驟：
(1)找出公因式；
(2)提公因式並確定另一個因式；
①找公因式可按照確定公因式的方法先確定係數再確定字母；
②提公因式並確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因 式後剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式；
③提完公因式後，另一因式的項數與原多項式的項數相同。
口訣：找準公因式，一次要提盡，全家都搬走，留1把家守，提負要變號，變形看奇偶。
例：
注意：把
變成
不叫提公因式，因為括弧內不得用分數
公式法
如果把乘法公式的等號兩邊互換位置，就可以得到用於分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法。
分解公式：
1、平方差公式：
即兩個數的平方差，等於這兩個數的和與這兩個數的差的積。
2、完全平方公式：
即兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍，等於這兩個數的和 (或差)的平方。
注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。
口訣：首平方，尾平方，積的二倍放中央。同號加、異號減，符號添在異號前。
推廣：
(1)即三數和的平方，等於這三個數的平方和加上每兩項的積的2倍。
(2)即四數和的平方，等於這四個數的平方和加上每兩數的積的2倍。
即幾個數的和的平方，等於這幾個數的平方和加上每兩數的積的2倍。
(3)
(4)
3、立方和公式：
即兩數之和，乘它們的平方和與它們的積的差，等於這兩個數的立方和。
推廣：三項立方和公式：
即三數之和，乘它們的平方和與它們兩兩的積的差，等於這三個數的立方和減三數之積的三倍
變形：
4、立方差公式：
即兩數之差，乘它們的平方和與它們的積的和，等於這兩個數的立方差。
變形：
5、完全立方公式：
即兩數之和(差)的立方等於這兩個數的立方和(差)與每一個數的平方乘以另一個數3倍的和(和與差)。
6、兩根式：
十字相乘法
註：與十字相乘法對應的還有雙十字相乘法
具體方法：十字左邊相乘等於二次項係數，右邊相乘等於常數項，交叉相乘再相加等於一次項。
口訣：分二次項，分常數項，交叉相乘求和得一次項。(拆兩頭，湊中間)
特點：
(1)二次項係數是1；
(2)常數項是兩個數的乘積；
(3)一次項係數是常數項的兩因數的和。
基本步驟：
(1)把二次項係數和常數項分別分解因數;
(2)嘗試十字圖，使經過十字交叉線相乘後所得的數的和為一次項係數;
(3)確定合適的十字圖並寫出因式分解的結果;
(4)檢驗。
例1：把6x2+13x + 6分解因式
解：
例1∴原式=(2x+3)(3x+2)
例2：把3m3-3m2-60m分解因式
解：
∴原式=3m(m2-m-20)
=3m(m-5)(m+4)
雙十字相乘法
對於某些二元二次六項式
(x、y為未知數，其餘都是常數)，用兩次十字相乘法分解因式，這種分解因式的方法叫做雙十字相乘法。
一般步驟：
(1)用十字相乘法分解二次項(
)，得到一個十字相乘圖(有兩列)；
(2)把常數項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的ey，第一、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的dx．
(3)先以一個字母的一次係數分數常數項；
(4)再按另一個字母的一次係數進行檢驗；
(5)橫向相加，縱向相乘。
例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12．
解析：這是一個二次六項式，可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。
解:
x2y2
x3y6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)
解方程法
通過解方程來進行因式分解的方法叫做解方程法。
例：把x2-6x+8=0 分解因式
解：原方程解得x1=2，x2=4，就得到原式=(x-2)(x-4)
分組分解法
例1：因式分解ax+ay+bx+by
解析：把ax和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。
解：ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
或
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
例2：因式分解5ax+5bx+3ay+3by
解析：係數不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個整體，利用乘法分配律輕鬆解出。
解：5ax+5bx+3ay+3by
=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
例3：因式分解 x2-x-y2-y
解析：利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然後相合解決。
解：x2-x-y2-y
=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
例4：因式分解a2-b2-2bc-c2
解：a2-b2-2bc-c2
=a2-(b+c)2
=(a-b-c)(a+b+c)
拆項補項法
把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項(或幾項)，使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解,這種分解因式的方法叫做拆項補項法。要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
例:分解因式：x3-9x+8．
分析：本題解法很多，這裡只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法，注意一下拆項、添項的目的與技巧．
解法1： 將常數項8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)
解法2將一次項-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)
解法3將三次項x3拆成9x3-8x3．
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)
解法4 添加兩項-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)
配方法
對於某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種分解因式的方法叫做配方法。屬於拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
例：分解因式x2+3x-40
解：x2+3x-40
=x2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)2-(6.5)2
=(x+8)(x-5)．
因式定理法：
根據因式定理，用求多項式的根來確定多項式的一次因式，從而對多項式進行因式分解的方法叫做因式定理法。
具體方法：根據因式定理(若
是一元多項式
的根，即
成立，則多項式有一個因式
)，找出一元多項式的一次因式的關鍵是求多項式
的根．對於任意多項式，要求出它的根是沒有一般方法的，然而當多項式f(x)的係數都是整數時，即整係數多項式時，若既約分數q/p是整係數多項式
的根，則必有
是
的約數，
是
的約數。特別地，當
時，整係數多項式的整數根均為
的約數。
注意：
(1)對於係數全部是整數的多項式，若
(p,q為互質整數時)該多項式值為零，則q為常數項約數，p最高次項係數約數；
(2)對於多項式
，
為最高次項係數，
為常數項，則有
為
約數。
例：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x2+5x+6的一個因式。(事實上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)．)
換元法
例：分解因式(x2+x+1)(x2+x+2)-12
解：令y=x2+x,則
原式=(y+1)(y+2)-12
=y2+3y+2-12=y2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x2+x+5)(x2+x-2)
=(x2+x+5)(x+2)(x-1)．
綜合除法
例：分解因式2x4+7x3-2x2-13x+6
解：令2x4 +7x3-2x2-13x+6=0，
則通過綜合除法可知，該方程的根為0.5 ，-3，-2，1．
所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．
令y=f(x)，做出函式y=f(x)的圖象，找到函式圖像與X軸的交點x1,x2,x3,……xn ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．
主元法
例：分解因式
解：令
作出其圖像，與
軸交點為-3，-1，2
則
特殊值法
將2或10代入x，求出數p，將數p分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。這種分解因式的方法叫做特殊值法。
例：分解因式
解：令
，則
將105分解成3個質因數的積，即
注意到多項式中最高項的係數為1，而3、5、7分別為
，
，
，在
時的值，
則可能等於
，驗證後的確如此。
待定係數法
在因式分解時，一些多項式經過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些係數尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的係數。由於該多項式等於這幾個因式的乘積，根據多項式恆等的性質，兩邊對應項係數應該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關於待定係數的方程(或方程組)，解出待定字母係數的值，這種因式分解的方法叫作待定係數法。
例：分解因式
解析：這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。
解：設
由此可得
a+c=-1
ac+b+d=-5
ad+bc=-6
bd=-4
解得a=1,b=1,c=-2,d=-4
則
二次多項式
根與係數關係二次多項式的因式分解
例：對於二次多項式
，
.
解：當
時，設
的解為
套用
多項式除法
例：計算
解：原式=
高次方程求根
例：解方程
解：∵
∴原方程即
=0
又∵
∴原方程即
∴原方程的解為
解一元二次不等式以及一元二次方程
例1：解不等式
解：原不等式可化為
則
∴
例2：解一元二次方程
解：整理得
，
即
，
∴
化簡分式
例：化簡
解：原式=
梅森合數分解
1、p=4r+3，如果8r+7也是素數，則：(8r+7)|(2P-1)。即(2p+1)|(2P-1)
例如：
23|(211-1)；11=4×2+3
47|(223-1)；23=4×5+3
167|(283-1)；83=4×20+3
2、p=2n×32+1,，則(6p+1)|(2P-1)，
例如：
223|(237-1)；37=2×2×3×3+1
439|(273-1)；73=2×2×2×3×3+1
3463|(2577-1)；577=2×2×2×2×2×2×3×3+1
3、p=2n×3m×5s-1,則(8p+1)|(2p-1)
例如；
233|(229-1)；29=2×3×5-1
1433|(2179-1)；179=2×2×3×3×5-1
1913|(2239-1)；239=2×2×2×2×3×5-1
例題
例1：分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2．
解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)(補項)
=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)(完全平方)
=[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2
=[(1+y)+x2(1-y)+2x][(1+y)+x2(1-y)-2x]
=(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1)
=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]
=[(x+1)2-y(x+1)(x-1)][(x-1)2-y(x+1)(x-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．
例2：求證：對於任何整數x,y，下式的值都不會為33：x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5．
解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5)
=x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y)
=(x+3y)(x4-5x2y2+4y4)
=(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．
當y=0時，原式=x5不等於33；當y不等於0時，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數的積，所以原命題成立。
例3：△ABC的三邊a、b、c有如下關係式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求證：這個三角形是等腰三角形。
分析：此題實質上是對關係式的等號左邊的多項式進行因式分解。
證明：∵-c2+a2+2ab-2bc=0，
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．
∴(a-c)(a+2b+c)=0．
∵a、b、c是△ABC的三條邊，
∴a+2b+c>0．
∴a－c=0，
即a=c，△ABC為等腰三角形。
例4：把-12x2n×yn+18xn+2yn+1-6xn×yn-1分解因式。
解：-12x2n×yn+18xn+2yn+1-6xn×yn-1
=-6xn×yn-1(2xn×y-3x2y2+1)．
