一個多元多項式，如果把其中任何兩個元互換，所得的結果都與原式相同，則稱此多項式是關於這些元的對稱多項式。x2+y2+z2，xy+yz+zx都是關於元x、y、z的對稱多項式。
基本介紹
- 中文名：對稱多項式
- 外文名：symmetric polynomial
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：數理科學
- 適用領域範圍：因式分解
- 相關：因式、一次因式、因式定理
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多項式簡介
F 上的一個 n 元多項式
稱為對稱的如果任意交換兩個變元均不改變該多項式，即對於任意
有
。
兩個 n 元對稱多項式的和、差，積仍是對稱多項式。但對稱多項式的因式不一定是對稱的。
下面的對稱多項式稱為初等對稱多項式 (elementary symmetric polynomial)：
顯然，
是 s 次齊次多項式。
基本定理
定理
令
，即
為一次形式（不定）乘積多項式
的展開式係數的全體，則對任意對稱多項式
，我們可以得到
其中
為
元多項式。
證明
對
各項進行字典排序，即
，取循環多項式
為
則易知
的字典序降一，故由歸納法可證其成立。
舉例
例一
分解因式
分析 這是一個二元對稱式，二元對稱式的基本對稱式是
任何二元對稱多項式都可用
表示，如
，二元對稱多項式的分解方法之一是：先將其用
表示，再行分解.
解 ∵
∴原式
例二
分解因式
此題中若將式中的
換成
換成
換成
，即為
，，原式不變，這類多項式稱為關於
的輪換對稱式，輪換對稱式的因式分解，用因式定理及待定係數法比較簡單，下面先粗略介紹一下因式定理，為了敘述方便先引入符號
如對一元多項式
可記作
即表示當
時多項式的值，如
時多項式
的值為
，當x=2時多項式
的值為
