基本介紹
- 中文名：輪換式
- 含義：數學定義
- 全稱：多項式是輪換多項式
- 對稱多項式：任意交換兩個元的位置多項式不變
- 套用：因式分解技巧
定義,輪換式與對稱式,輪換式的因式分解,輪換式的形式,齊次與非齊次,一個有用的公式,
定義
輪換式與對稱式
如果一個多項式中的變數字母按照任何次序輪換後，原多項式不變，那么稱該多項式是輪換多項式。 對稱輪換式就是兩項互換，可以看做輪換式的特殊情況。
下面通過例子來說明輪換式和對稱式的區別和聯繫：
1、對於這幾個代數式：
交換這些式子中的任意兩個字母，式子不變。我們把這樣的式子叫做對稱式。
2、再看這幾個式子：
將這些式子中的 x 換成 y， 將 y 換成 z, 將 z 換成 x,即將字母做一個輪換， 式子保持不變。我們將這樣的式子叫做輪換式。
由此可見：對稱式一定是輪換式，但輪換式未必是對稱式。另外，兩個輪換式（對稱式）的和、差、積、商仍然是輪換式（對稱式）。
輪換式的因式分解
例1：分解因式
解：
∴原式
例2:分解因式
此題中若將式中的b換成a，c換成b，a換成c，即為
，原式不變，這類多項式稱為關於a、b、c的輪換對稱式，輪換對稱式的因式分解，用因式定理及待定係數法比較簡單。下面先粗略介紹一下因式定理，為了敘述方便先引入符號
，
如對一元多項式
可記作
，
即表示當
時多項式的值，如
時，多項式 的值為
；當
時多項式 的值為
如多項式 ，當 時，
即
含有
的因式，事實上
.
對於一般的形式：
，若
，則
由於
（其中 | 表示整除）
∴
由以上分析可知：對於多元多項式,在使用因式定理時可以確定一個主元,而將其它的元看成確定的數來處理.
我們利用因式定理來解例2：
解 這是一個含有a、b、c三個字母的三次多項式，現以a為主元，設
，易知當a=b和a=c時，都有
，故a-b和a-c是多項式的因式，而視b為主元時，同理可知b-c也是多項式的因式，而三次多項式至多有三個因式故可設
，其中k為待定係數，令
可得
∴
例3分解因式
分析: 這是一個關於a、b、c的四次齊次輪換多項式，可用因式定理分解，易知
是多項式的三個因式，而四次多項式還有一個因式，由輪換對稱性可知這個一次因式應是
，故可設
（其中k為待定係數），取
可得 ，所以
原式
輪換式的形式
一次齊次的輪換式形如：
二次齊次的輪換式形如：
三次齊次的輪換式形如：
其中的 l, m, n, k 是待定常數.
齊次與非齊次
分解因式
易知其有因式
。因為原式是五次齊次輪換式，所以還缺一個二次齊次輪換式。不妨設
令
可得
令
可得
於是可得
。這就給出了所要的因式分解。
分解因式：
記
，
則此題就變為上一例題。最後結果為：
一個有用的公式
分解因式：
當
時，原式為 0，所以原式有因式
。再者，原式是三次齊次輪換式，所以我們還缺一個二次齊次輪換式因式。 不妨設
