對稱多項式

一個多元多項式，如果把其中任何兩個元互換，所得的結果都與原式相同，則稱此多項式是關於這些元的對稱多項式。x²+y²+z²，xy+yz+zx都是關於元x、y、z的對稱多項式。

基本介紹

• 中文名：對稱多項式
• 外文名：symmetric polynomial
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：數理科學
• 適用領域範圍：因式分解
• 相關：因式、一次因式、因式定理

多項式簡介

F 上的一個 n 元多項式 稱為對稱的如果任意交換兩個變元均不改變該多項式，即對於任意 有 。

兩個 n 元對稱多項式的和、差，積仍是對稱多項式。但對稱多項式的因式不一定是對稱的。

下面的對稱多項式稱為初等對稱多項式 (elementary symmetric polynomial)：

顯然， 是 s 次齊次多項式。

基本定理

定理

令 ，即 為一次形式（不定）乘積多項式 的展開式係數的全體，則對任意對稱多項式 ，我們可以得到 其中 為 元多項式。

證明

對 各項進行字典排序，即 ，取循環多項式 為 則易知 的字典序降一，故由歸納法可證其成立。

舉例

例一

分解因式

分析 這是一個二元對稱式，二元對稱式的基本對稱式是 任何二元對稱多項式都可用 表示，如 ，二元對稱多項式的分解方法之一是：先將其用 表示，再行分解.

解 ∵

∴原式

例二

分解因式

此題中若將式中的 換成 換成 換成 ，即為 ，，原式不變，這類多項式稱為關於 的輪換對稱式，輪換對稱式的因式分解，用因式定理及待定係數法比較簡單，下面先粗略介紹一下因式定理，為了敘述方便先引入符號 如對一元多項式 可記作 即表示當 時多項式的值，如 時多項式 的值為 ，當 時多項式 的值為

因式定理 如果 時，多項式 的值為零，即 ，則 能被 整除(即含有 之因式)。

如多項式 ，當 時， ，即 含有 的因式，事實上 。對於多元多項式，在使用因式定理時可以確定一個主元，而將其它的元看成確定的數來處理。

解 這是一個含有 三個字母的三次多項式，現以 為主元，設 ，易知當 和 時，都有 ，故 和 是多項式的因式，而視 為主元時，同理可知 也是多項式的因式，而三次多項式至多有三個因式。

故可設 ，其中 為待定係數，令 ，可得 。

所以 。