基本介紹
- 中文名：對稱變換
- 外文名：symmetrical transformation
- 相關術語：反對稱變換
- 學科：數學
- 套用：數形結合處理、圖像處理
- 基本概念：在某一作用下仍與原來的圖形重合
形狀對稱變換,合成,性質,分類,逆變換,多項式,
形狀對稱變換
1、正三角形在下面六個平面剛體運動中保持不變：
（1）恆等變換，記作I。
（3）關於對稱軸r2所在直線的反射，記作r2。
（4）關於對稱軸r3所在直線的反射，記作r3。
（5）以重心O為中心轉120° 的旋轉，記作ρ1。
（6）以重心O為中心轉240° 的旋轉，記作ρ2。
正三角形的六個對稱變換組成的集合記作D3，即D3={I,r1,r2,r3,ρ1,ρ2}。
2、正四邊形在下面八個平面剛體運動中保持不變：
（1）恆等變換，記作I。
（2）關於對稱軸r1所在直線的反射，記作r1。
（3）關於對稱軸r2所在直線的反射，記作r2。
（4）關於對稱軸r3所在直線的反射，記作r3。
（5）關於對稱軸r4所在直線的反射，記作r4。
（6）以重心O為中心轉90° 的旋轉，記作ρ1。
（7）以重心O為中心轉180° 的旋轉，記作ρ2。
（8）以重心O為中心轉270° 的旋轉，記作ρ3。
正四邊形的八個對稱變換組成的集合記作D4，即D4={I,r1,r2,r3,r4,ρ1,ρ2,ρ3}。
合成
一個平面圖形的兩個對稱變換a與b的合成（先做變換a，再做變換b）仍然是這個平面圖形的對稱變換，記作b·a。
性質
1、對於任意對稱變換a與恆等變換I，都有a·I=I·a。
2、一般地，平面圖形的對稱變換不滿足交換律（除恆等變換外）。
3、平面圖形的對稱變換滿足結合律。
分類
對稱變換主要有：
1、y=f(－x) 與y=f(x) 的圖象關於y軸對稱；
若f(－x)=f(x)，則函式自身的圖象關於y軸對稱。
2、y=－f(x) 與y=f(x) 的圖象關於x軸對稱。
3、y=－f(－x) 與y=f(x) 的圖象關於原點對稱；
若f(－x)=－f(x)，則函式自身的圖象關於原點對稱。
4、y=f(x) 與y=f(x) 的圖象關於直線y=x對稱。
5、y=－f(－x) 與y=f(x) 的圖象關於直線y=－x對稱。
6、y=f(2a－x) 與y=f(x) 的圖象關於直線x=a對稱；
若f(x)=f(2a－x)（或f(a+x)=f(a－x)），則函式自身的圖象關於直線x=a對稱。
7、y=2b－f(x) 與y=f(x) 的圖象關於直線y=b對稱。
8、y=2b－f(2a－x) 與y=f(x) 的圖象關於點(a，b)對稱。
例1、設函式y=f(x)的定義域是R，且f(x－1)=f(1－x)，那么f(x)的圖象有對稱軸( )。
A.直線x=0 B.直線x=1
C.直線y=0 D.直線y=1
【解析】設x－1=t，則f(t)=f(－t)，函式為偶函式，關於y軸對稱。故答案選D。
例2、已知函式f(x)定義域為R，則下列命題中
①y=f(x)為偶函式，則y=f(x+2)的圖象關於y軸對稱.
②y=f(x+2)為偶函式，則y=f(x)關於直線x=2對稱.
③若f(x－2)=f(2－x),則y=f(x)關於直線x=2對稱.
④y=f(x－2)和y=f(2－x)的圖象關於x=2對稱.
其中正確命題序號有_____(填上所有正確命題序號).
【解析】 ①y=f(x)是偶函式，而f(x+2)是將f(x)的圖象向左平移2個單位得到的，則對稱軸左移2個單位為x=－2，所以f(x+2)圖象關於直線x=－2對稱。
②y=f(x+2)為偶函式，則f(x+2)=f(2－x)，所以y=f(x)圖象關於直線x=2對稱。
③令x－2=t ，則2－x=－t，得f(t)=f(－t)，y=f(x)的圖象關於y軸對稱。
④f(x)與f(－x)的圖象關於y軸對稱，將f(x)與f(－x)的圖象分別向右平移2個單位，分別得到f(x－2)與f(2－x)的圖象，對稱軸右移2個單位為直線x=2.。
【答案】 ②④
逆變換
1、若兩個對稱變換a、b滿足a·b=b·a=I，那么b（或a）叫做a（或b）的逆變換，記作
2、b·a的逆變換是
。
多項式
1、如果一個多項式F經過字母的替換仍與原來的多項式相等，那么就說F具有對稱性，上述字母的替換叫做多項式的對稱變換。
2、設一個多項式的下標組成的集合為{1,2,3,…,n}，σ是n元對稱群Sn中的一個置換，如果對多項式的下標進行置換σ後仍與原來的多項式相等，那么置換σ就叫做多項式的對稱變換。
3、如果一個n次多項式的對稱變換是Sn中的全部變換，這樣的多項式叫做對稱多項式。
