因式分解法

數學中用以求解高次一元方程的一種方法。把方程的一側的數（包括未知數），通過移動使其值化成0，把方程的另一側各項化成若干因式的乘積，然後分別令各因式等於0而求出其解的方法叫因式分解法。

基本介紹

• 中文名：因式分解法
• 外文名：factorization of polynomials
• 用以：求解高次一元方程的一種方法
• 擴展：各因式等於0求其解叫因式分解法
• 分類：拆項和添減項法等

因式分解

(factorization of polynomials)

代數學術語，指將一個多項式表示為幾個多項式之積的過程與結果，數域 P 上每一個次數 n≥1 的多項式都可以惟一分解成 P 上的不可約多項式的乘積，將 P 上多項式表示成這樣的乘積的過程稱為多項式的因式分解，簡稱因式分解（或分解因式）在不同的數域上，多項式分解因式的結果可能是不同的，例如，對於 f(x)=x⁴-4，在數集 Q，R，C 上分解的結果分別是：

方法分類

把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫作分解因式。因式分解沒有普遍的方法，國中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。

而在競賽上，又有拆項和添減項法、分組分解法和十字相乘法、待定係數法、雙十字相乘法、對稱多項式輪換對稱多項式法、餘數定理法、求根公式法、換元法、長除法、除法等。

提公因式法

幾個多項式的各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。 如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。 具體方法：當各項係數都是整數時，公因式的係數應取各項係數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，多項式的次數取最低的。 如果多項式的第一項是負的，一般要提出“-”號，使括弧內的第一項的係數成為正數。提出“-”號時，多項式的各項都要變號。

口訣：找準公因式，一次要提淨；全家都搬走，留1把家守。

要變號，變形看正負。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a²+1/2變成2(a²+1/4)不叫提公因式

公式法

如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。

平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²；

注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。

立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)；

立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)；

完全立方公式：a³±3a²b+3ab²±b³=(a±b)³．

其他公式：(1)a³+b³+c³+3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

例如：a² +4ab+4b² =(a+2b)²。

待定係數法

例如，將ax²+bx+c(a,b,c是常數，ab≠0)因式分解，可令ax²+bx+c=0，再解這個方程。如果方程無解，則原式無法因式分解；如果方程有兩個相同的實數根(設為m)，則原式可以分解為(x-m)²如果方程有兩個不相等的實數根(分別設為m，n)，則原式可以分解為(x-m)(x-n)。

更高次數的多項式亦可。

例：分解因式x²+3x-4。

答：設x²+3x-4=0

解方程得：x1=1 x2=-4

∴x²+3x-4因式分解為(x-1)(x+4)

十字相乘法（數學術語）

十字分解法的方法簡單來講就是：十字左邊相乘等於二次項係數，右邊相乘等於常數項，交叉相乘再相加等於一次項係數。其實就是運用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆運算來進行因式分解。

十字分解法能把某些二次三項式分解因式。對於形如ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)的整式來說，方法的關鍵是把二次項係數a分解成兩個因數a₁,a₂的積a₁·a₂，把常數項c分解成兩個因數c₁,c₂的積c₁·c₂，並使a₁c₂+a₂c₁正好等於一次項的係數b，那么可以直接寫成結果:ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。在運用這種方法分解因式時，要注意觀察，嘗試，並體會，它的實質是二項式乘法的逆過程。當首項係數不是1時，往往需要多次試驗，務必注意各項係數的符號。基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q)。

分解因式技巧

1.分解因式與整式乘法是互為逆變形。

2.分解因式技巧掌握：

①等式左邊必須是多項式；

②分解因式的結果必須是以乘積的形式表示；

③每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數；

④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。

注意：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應從係數和因式兩個方面考慮。

3.提公因式法基本步驟：

（1）找出公因式；

（2）提公因式並確定另一個因式：

①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定係數再確定字母；

②第二步提公因式並確定另一個因式，注意要確定另一個因式。

③提完公因式後，另一因式的項數與原多項式的項數相同。