完全平方數

完全平方數

完全平方指用一個整數乘以自己例如1*1,2*2,3*3等,依此類推。若一個數能表示成某個整數的平方的形式,則稱這個數為完全平方數。完全平方數是非負數,而一個完全平方數的項有兩個。注意不要與完全平方式所混淆。

基本介紹

  • 中文名:完全平方數
  • 外文名:perfect square
  • 領域:數學
  • 釋義:能表示成某個整數的平方的形式
  • 性質:非負
  • 相關概念:完全平方式
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定義及性質

如果一個正整數 a 是某一個整數 b 的平方,那么這個正整數 a 叫做完全平方數。零也可稱為完全平方數。其性質如下:
(1)平方數的個位數字只能是 0, 1,4,5,6,9 。
(2)任何偶數的平方一定能被 4 整除;任何奇數的平方被 4(或 8)除余 1,即被4 除余 2 或 3 的數一定不是完全平方數。
(3)完全平方數的個位數字是奇數時,其十位上的數字必為偶數。完全平方數的個位數字是 6 時,其十位數字必為奇數。
(4)凡個位數字是 5 但末兩位數字不是 25 的自然數不是完全平方數;末尾只有奇數個 0 的自然數不是完全平方數;個位數字是 1,4,9 而十位數字為奇數的自然數不是完全平方數。
(5)除 1 外,一個完全平方數分解質因數後,各個質因數的指數都是偶數,如果一個數質分解後, 各個指數都為偶數, 那么它肯定是個平方數。 完全平方數的所有因數的總個數是奇數個。因數個數為奇數的自然數一定是完全平方數。
(6)若質數 p 整除完全平方數 a,則
|a。
(7)如果 a 、b 是平方數, a=bc ,那么 c 也是完全平方數。
(8)兩個連續自然數的乘積一定不是平方數,兩個連續自然數的平方數之間不再有平方數。
(9)如果十位數字是奇數,則它的個位數字一定是6;反之也成立。
推論1:如果一個數的十位數字是奇數,而個位數字不是6,那么這個數一定不是完全平方數。
推論2:如果一個完全平方數的個位數字不是6,則它的十位數字是偶數。
(10)偶數的平方是4的倍數;奇數的平方是4的倍數加1。
(11)奇數的平方是8n+1型;偶數的平方為8n或8n+4型。(奇數:n比那個所乘的數-1;偶數:n比那個所乘的數-2)
(12)形式必為下列兩種之一:3k,3k+1。
(13)不是5的因數或倍數的數的平方為5k+-1型,是5的因數或倍數的數為5k型。
(14)形式具有下列形式之一:16m,16m+1,16m+4,16m+9。
(15)性質11:如果質數p能整除a,但p的平方不能整除a,則a不是完全平方數。
(16)在兩個相鄰的整數的平方數之間的所有整數都不是完全平方數。
(17)一個正整數n是完全平方數的充分必要條件是n有奇數個因數(包括1和n本身)。

重要結論

(1)個位數是2、3、7、8的整數一定不是完全平方數;
(2)個位數和十位數都是奇數的整數一定不是完全平方數;
(3)個位數是6,十位數是偶數的整數一定不是完全平方數;
(4)形如3n+2型的整數一定不是完全平方數;
(5)形如4n+2和4n+3型的整數一定不是完全平方數;
(6)形如5n±2型的整數一定不是完全平方數;
(7)形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整數一定不是完全平方數;
(8)數字和是2、3、5、6、8的整數一定不是完全平方數;
(9)四平方和定理:每個正整數均可表示為4個整數的平方和;
(10)完全平方數的因數個數一定是奇數。

完全平方式和完全平方數的區別

完全平方式

完全平方式分兩種:
(1)完全平方和公式,就是兩個整式的和括弧外的平方,例如:
(2)完全平方差公式,就是兩個整式的差括弧外的平方。例如:
口訣:首末兩項算平方,首末項乘積的2倍中間放,符號隨中央。(就是把兩項的乘方分別算出來,再算出兩項的乘積,再乘以2,然後把這個數放在兩數的乘方的中間,這個數以前一個數間的符號隨原式中間的符號,完全平方和公式就用+,完全平方差公式就用-,後邊的符號都用+)

區別

一個數如果是另一個整數的完全平方,那么我們就稱這個數為完全平方數,也叫做平方數。
它與完全平方式的區別是:完全平方式是代數式,完全平方數是自然數。

示例

一個自然數減去45及加上44都仍是完全平方數,求此數。
解:設此自然數為x,依題意可得:
x-45=m2
x+44=n2
(m,n為自然數)
⑵-⑴可得 :n^2-m^2=89
因為n+m>n-m
又因為89為質數,
所以:n+m=89; n-m=1
解之,得n=45。代入⑵得。故所求的自然數是1981。

討論題示例

  1. (1986年第27屆IMO試題) 設正整數d不等於2,5,13,求證在集合{2,5,13,d}中可以找到兩個不同的元素a,b,使得ab -1不是完全平方數。
    解:顯然2*5-1=9 2*13-1=25 5*13-1=64都為完全平方數
    假設2d-1為完全平方數,注意到d為正整數,2d-1為奇數 不妨設2d-1=(2n-1)^2 得 d=2n^2-2n+1
    此時5d-1=10n^2-10n+4不是完全平方數
    同理 假設5d-1 13d-1 為完全平方數 可以分d為奇偶去證明.
  2. 求k的最大值,使2010可以表示為k個連續正整數之和。
    解:假設這k個數為 a,a+1,a+2,...,a+(k-1)
    它們的和為 ka+k(k-1)/2=2010
    k(k+2a-1)=2*2010=2^2*5*3*67=60*67
    顯然k最大只能是60,此時a=4

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