基本介紹
- 中文名：完全平方數
- 外文名：perfect square
- 領域：數學
- 釋義：能表示成某個整數的平方的形式
- 性質：非負
- 相關概念：完全平方式
定義及性質,重要結論,完全平方式和完全平方數的區別,完全平方式,區別,示例,討論題示例,
定義及性質
如果一個正整數 a 是某一個整數 b 的平方，那么這個正整數 a 叫做完全平方數。零也可稱為完全平方數。其性質如下：
（1）平方數的個位數字只能是 0， 1，4，5，6，9 。
（2）任何偶數的平方一定能被 4 整除；任何奇數的平方被 4(或 8)除余 1，即被4 除余 2 或 3 的數一定不是完全平方數。
（3）完全平方數的個位數字是奇數時，其十位上的數字必為偶數。完全平方數的個位數字是 6 時，其十位數字必為奇數。
（4）凡個位數字是 5 但末兩位數字不是 25 的自然數不是完全平方數；末尾只有奇數個 0 的自然數不是完全平方數；個位數字是 1，4，9 而十位數字為奇數的自然數不是完全平方數。
（5）除 1 外，一個完全平方數分解質因數後，各個質因數的指數都是偶數，如果一個數質分解後， 各個指數都為偶數， 那么它肯定是個平方數。 完全平方數的所有因數的總個數是奇數個。因數個數為奇數的自然數一定是完全平方數。
（6）若質數 p 整除完全平方數 a，則
|a。
（7）如果 a 、b 是平方數， a=bc ，那么 c 也是完全平方數。
（8）兩個連續自然數的乘積一定不是平方數，兩個連續自然數的平方數之間不再有平方數。
（9）如果十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6；反之也成立。
推論1：如果一個數的十位數字是奇數，而個位數字不是6，那么這個數一定不是完全平方數。
推論2：如果一個完全平方數的個位數字不是6，則它的十位數字是偶數。
（10）偶數的平方是4的倍數；奇數的平方是4的倍數加1。
（11）奇數的平方是8n+1型；偶數的平方為8n或8n+4型。（奇數：n比那個所乘的數-1；偶數：n比那個所乘的數-2）
（12）形式必為下列兩種之一：3k,3k+1。
（13）不是5的因數或倍數的數的平方為5k+-1型，是5的因數或倍數的數為5k型。
（14）形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。
（15）性質11：如果質數p能整除a，但p的平方不能整除a，則a不是完全平方數。
（16）在兩個相鄰的整數的平方數之間的所有整數都不是完全平方數。
（17）一個正整數n是完全平方數的充分必要條件是n有奇數個因數（包括1和n本身）。
重要結論
（1）個位數是2、3、7、8的整數一定不是完全平方數；
（2）個位數和十位數都是奇數的整數一定不是完全平方數；
（3）個位數是6，十位數是偶數的整數一定不是完全平方數；
（4）形如3n+2型的整數一定不是完全平方數；
（5）形如4n+2和4n+3型的整數一定不是完全平方數；
（6）形如5n±2型的整數一定不是完全平方數；
（7）形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整數一定不是完全平方數；
（8）數字和是2、3、5、6、8的整數一定不是完全平方數；
（9）四平方和定理：每個正整數均可表示為4個整數的平方和；
（10）完全平方數的因數個數一定是奇數。
完全平方式和完全平方數的區別
完全平方式
完全平方式分兩種：
（1）完全平方和公式，就是兩個整式的和括弧外的平方，例如：
（2）完全平方差公式，就是兩個整式的差括弧外的平方。例如：
口訣：首末兩項算平方，首末項乘積的2倍中間放，符號隨中央。（就是把兩項的乘方分別算出來，再算出兩項的乘積，再乘以2，然後把這個數放在兩數的乘方的中間，這個數以前一個數間的符號隨原式中間的符號，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用-，後邊的符號都用+）
區別
一個數如果是另一個整數的完全平方，那么我們就稱這個數為完全平方數，也叫做平方數。
它與完全平方式的區別是：完全平方式是代數式，完全平方數是自然數。
示例
一個自然數減去45及加上44都仍是完全平方數，求此數。
解：設此自然數為x，依題意可得：
x-45=m2 ⑴
x+44=n2 ⑵
（m,n為自然數）
⑵-⑴可得 ：n^2-m^2=89
因為n+m>n-m
又因為89為質數，
所以：n+m=89; n-m=1
解之，得n=45。代入⑵得。故所求的自然數是1981。
討論題示例
- （1986年第27屆IMO試題） 設正整數d不等於2,5,13，求證在集合{2,5,13,d}中可以找到兩個不同的元素a,b，使得ab -1不是完全平方數。
解：顯然2*5-1=9 2*13-1=25 5*13-1=64都為完全平方數
假設2d-1為完全平方數,注意到d為正整數,2d-1為奇數 不妨設2d-1=(2n-1)^2 得 d=2n^2-2n+1
此時5d-1=10n^2-10n+4不是完全平方數
同理 假設5d-1 13d-1 為完全平方數 可以分d為奇偶去證明. - 求k的最大值，使2010可以表示為k個連續正整數之和。
解：假設這k個數為 a,a+1,a+2,...,a+(k-1)
它們的和為 ka+k(k-1)/2=2010
k(k+2a-1)=2*2010=2^2*5*3*67=60*67
顯然k最大只能是60,此時a=4
