預解方程

定義

設 T 是作用在巴拿赫空間

上的有界線性運算元，當

時，預解方程為

一元二次方程

普通一元二次方程的預解方程，在9世紀時就已經發現。在

中，

。

國中二年級課本中有相關描述。

一元三次方程

16世紀，普通一元三次方程及一元四次方程的預解方程都被發現。

該預解方程推倒的主旨思想是通過換元將n次方程向(n-1)次方程轉變，再用解(n-1)次方程的預解方程推出該方程預解式。

1505年，三次方程式預解方程已被Scipio Ferreo求出，之後馮塔納也求出預解方程，並以嚴守秘密為條件傳授給了卡爾丹，但卡爾丹不守信約，於1545年發表，後人稱之為卡爾丹公式。之後Hudde於1650年發表了另一種解法。

四次方程式預解式由費拉里於1540年前後推出。

一元四次以上方程

1770年，拉格朗日將前人方法總結，並間接使用置換群的概念(尚未提出)，將各種解法歸納於一種原理下，並證明普通五次方程沒有預解方程，自此，近世代數拉開序幕。

1815年，柯西對置換進行了系統的研究，成為了置換群理論研究的先驅。

此後，阿貝爾、伽羅瓦兩位天才數學家證明了n(n>4)次方程式沒有有理與無理預解方程，並提出群論、域論這兩個重要的數學概念，為日後的代數學研究奠下重要的基石。但這兩個數學家都英年早逝，伽羅瓦20歲時因決鬥逝去，阿貝爾27歲染重疾逝去，他們死後約半個世紀，他們的學說才被認同。