係數行列式

n個未知數n個線性方程所組成的線性方程組，它的係數矩陣的行列式叫做係數行列式(determinant of coefficient)。

基本介紹

• 中文名：係數行列式
• 外文名：determinant of coefficient
• 所屬學科：數學
• 相關概念：線性方程組，行列式，矩陣等

基本介紹

含n個未知量的線性方程組

由它的係數 組成的n階行列式

叫做方程組的係數行列式。

係數矩陣

若線性方程組

由係數組成的矩陣

叫做方程組的係數矩陣。

行列式與矩陣的區別：

本質不同：行列式的結果是一個數字，而矩陣代表的是一個數字的表格。

形狀不同：行列式的行數和列數必須相等，而矩陣的行數和列數不一定相等。

克萊姆法則

若線性方程組

的係數行列式

則方程組有唯一解，且

這裡

由此可知，對齊次線性方程組

若係數行列式

則方程組只有零解。事實上，對於齊次方程組(2)，有下面結論：

1. 方程組(2)只有零解的充分必要條件是係數行列式不等於零。

2. 方程組(2)有非零解的充分必要條件是係數行列式等於零。

行列式

定義

n階行列式

為所有不同行不同列的n個元素乘積的代數和，其是的一個排列。當是偶排列時，該項符號為正；當是奇排列時，該項符號為負，即

行列式的性質

性質1 行列式的行和列互換，其值不變。即行列式D與它的轉置行列式相等，。

性質2 互換行列式中任意兩行(列)的位置，行列式的正負號改變。

推論1 如果行列式中有兩行(列)的對應元素相同，則行列式等於0。

性質3用一個數k乘以行列式的某一行(列)的各元素，等於該數乘以此行列式。

推論2 行列式的某一行(列)有公因子時，可以把公因子提到行列式的外面。

推論3 若行列式的某一行(列)的元素全為0，則該行列式等於0。

推論4 如果行列式中有兩行(列)的對應元素成比例，則行列式等於0。

性質4 如果行列式的某行(列)中各元素均為兩項之和，則這個行列式可以拆成除這一行(列)以外其餘元素不變的兩個行列式的和。

性質4可推廣到某行(列)各元素為多項之和的情形。

性質5 把行列式中某一行(列)的各元素同乘以一個數k，加到另一行(列)的對應元素上，行列式的值不變。