弗雷德霍姆二擇一定理

弗雷德霍姆二擇一定理(Fredholm alternative theorem)是研究線性橢圓型方程的解存在問題的一個泛函分析定理，這個定理與含N個未知函式的N個方程的線性代數方程組中下列定理類似： 當係數行列式等於零時，對應齊次方程組有非零解；當係數行列式不等於零時，對任意的右端，非齊次方程組都有唯一解。

基本介紹

• 中文名：弗雷德霍姆二擇一定理
• 外文名：Fredholm alternative theorem
• 所屬學科：數學
• 屬性：泛函分析定理
• 套用：研究線性橢圓型方程的解存在問題

基本介紹

弗雷德霍姆二擇一定理是研究線性橢圓型方程的解存在問題的一個泛函分析定理。下面分別介紹它在賦范空間中的表述和在希爾伯特空間中的表述。

表述1

在賦范空間中的這個定理表述為：設是賦范線性空間，是一緊線性運算元，則以下兩種可能有一個且只有一個發生：

1.存在，使得；

2.對於任意，存在惟一的，使得。

在第二種情形下，是有界線性運算元。

表述2

希爾伯特空間中的弗雷德霍姆二擇一定理表述如下：設是一個希爾伯特空間，是一個緊線性運算元，則存在一可數集不含非零極限點，使得若，則方程，對每一有惟一解，且逆運算元

有界。若，則運算元和的零空間有正有限維數；若且唯若正交於的零空間，上述第一個方程有解；而若且唯若正交於的零空間，第二個方程有解。

套用

把弗雷德霍姆二擇一定理用於散度形式的橢圓型方程的狄利克雷問題

則有如下結果：若，且存在常數，使得；又設Ω為使索伯列夫嵌入定理成立的有界區域，，則問題(1)只有以下兩種可能：

1. 對於任意，問題(1)有惟一的弱解。

2. 存在非零的， 使得。

此外，使第二種情況成立的μ是離散的，只能以為極限點，對每一特徵值μ，相應的特徵函式空間是有限維的。