索伯列夫嵌入定理

索伯列夫嵌入定理(Sobolev imbedding theorems)是索伯列夫空間最重要的性質，可以用索伯列夫不等式證明該定理。

基本介紹

• 中文名：索伯列夫嵌入定理
• 外文名：Sobolev imbedding theorems)
• 別稱：Sobolev嵌入定理
• 提出者：謝爾蓋·利沃維奇·索博列夫
• 提出時間：1938年
• 套用學科：數理科學
• 適用領域範圍：數學分析

定理內容

令 表示包含 上所有滿足前k階弱導數屬於 的實值函式的索伯列夫空間，其中k是非負整數且有1 。索伯列夫嵌入定理的第一部分指出如果 且 滿足 和

那么，

並且該嵌入連續。在 且 的特殊情形，Sobolev嵌入定理給出

其中p是p的Sobolev共軛，如下給出

這個索伯列夫嵌入定理的特例可由索伯列夫不等式直接得出。

索伯列夫嵌入定理的第二部分用於嵌入到Hölder空間 。如果 其中 ，則有嵌入

索伯列夫嵌入的這個部分可由Morrey不等式直接得出。直觀的說，這種包含關係表示足夠高階的弱導數存在性意味著一些經典導數的連續性。

推廣

索伯列夫嵌入定理對於有其他適當定義域的索伯列夫空間也成立。特別的，索伯列夫嵌入的兩個部分在滿足下列條件時成立：

1)是上有Lipschitz邊界的有界開集（或者邊界滿足錐條件）；

2)是緊黎曼流形；

3)是有Lipschitz邊界的緊帶邊黎曼流形；

4)是滿足單射半徑且截面曲率有界的完備黎曼流形。

索伯列夫不等式

索伯列夫不等式，即Gagliardo–Nirenberg–Sobolev不等式，可以用於證明索伯列夫嵌入定理。

假設u是R上擁有緊支集的連續可微實值函式。對於存在常數只依賴於和使得

其中。的情形由Sobolev給出，的情形由Gagliardo和Nirenberg獨立給出。Gagliardo–Nirenberg–Sobolev不等式直接導出Sobolev嵌入

上其他階的嵌入可由適當的疊代得到。