設P是由一些複數組成的集合，其中包括0與1，如果P中任意兩個數的和、差、積、商（除數不為0）仍是P中的數，則稱P為一個數域。
常見數域： 複數域C；實數域R；有理數域Q。
基本介紹
- 中文名：數域
- 外文名：number field
- 領域：數學
- 分類：複數域C；實數域R；有理數域Q
- 性質：封閉性
- 相關名詞：數集
定義,數域的性質定理,舉例,
定義
設P是由一些複數組成的集合，其中包括0與1，如果P中任意兩個數的和、差、積、商（除數不為0）仍是P中的數，則稱P為一個數域。
常見數域： 複數域C；實數域R；有理數域Q。
（注意：自然數集N及整數集Z都不是數域。）
說明：
1）若數集P中任意兩個數作某一運算的結果仍在P中，則說數集P對這個運算是封閉的。
2）數域的等價定義：如果一個包含0，1在內的數集P對於加法，減法，乘法與除法（除數不為0）是封閉的，則稱數集P為一個數域。
數域的性質定理
（1）任意數域P都包括有理數域Q；即，有理數域為最小數域。
證明：設P為任意一個數域，由定義可知，
，於是有
，進而有
，而任意一個有理數可表成兩個整數的商，所以
。
（2）設F1及F2是兩個數域，則
也構成一個數域。
舉例
數域因為其定義過於廣泛，沒有太好的性質，在數學中的直接套用很少，經常用到的是它的一些子對象，例如：
代數數域，即有理數域
的有限擴張，例如有理數域和高斯域
。
