代數數域

代數數域是數學中代數數論的基本概念，數域的一類，有時也被簡稱為數域，指有理數域 ℚ 的有限擴張形成的擴域。任何代數數域都可以視作 ℚ 上的有限維向量空間。

對代數數域的研究，或者更一般地說，對有理數域的代數擴張的研究，是代數數論的中心主題。

基本介紹

• 中文名：代數數域
• 外文名：algebraic number field
• 適用範圍：數理科學

簡介

命 為一個 n次代數數，即一個有理係數 n次不可約方程 的根。

易證所有形如 的數，此處 為有理數，所構成的集合，對和、差、積、商（除數非零）是自封的，所以構成一個域，這就是有理數域 添加 所得的單擴張(simple extension)，常以 記之。可以證明對於 的任何有限擴張(finite extension) ，其中 都是代數數，均可找到一個代數數 使 。因此，只要考慮 的單擴張即可，稱 為一個代數數域。

所滿足的不可約方程的次數即定義為 的次數。

舉例

最小最基本的代數數域是有理數域ℚ 。因為ℚ 自身是ℚ- 向量空間，維數是1。因此ℚ 是ℚ 自身的域擴張，。高斯有理數ℚ(i)（i為虛數單位）是數學家發現的第一個非平凡代數數域的例子，它是所有形同：的數構成的集合。

可以證明，ℚ(i)是域，而且是ℚ-向量空間，以為基，空間維數是2。所以ℚ(i)是ℚ的二次擴張，。

給定不是完全平方數的正整數或相反數不是完全平方數的負整數 d ，二次域在ℚ中添加d的平方根而得的擴域。與高斯有理數域類似，可以證明是ℚ-向量空間，以為基，空間維數是2，即。

考慮多項式方程 xⁿ=1 的 n 個復根，它們被稱做 n 次單位根，具體可以寫作：。

在ℚ中添加得到的擴域稱為 n 次分圓域，記作。可以證明是有限維ℚ-向量空間，維數為（φ是數論中的歐拉函式），即。

實數域 ℝ 、複數域ℂ和 p 進數域ℚ_p都不是ℚ的有限擴張，因此都不是代數數域。任何有限域都不是ℚ的擴域，因此也不是代數數域。全體規矩數構成的域 𝑪 和全體代數數構成的域 𝘼 （有時也被簡稱為代數數域，與本文主題同名，但不是同一個概念）不是ℚ的有限擴張，因此都不是代數數域。

代數整數

代數整數是指能夠成為某個首一整數係數多項式的根的數。顯然代數整數是一種代數數。任何整數n都是一次整係數多項式X - n的根，因此是代數整數。給定代數數域F，F中所有代數整數構成一個環，稱作F中的（代數）整數環，也稱為F-整數環，記作。例如ℚ上的代數整數環就是 ℤ ，因此在代數數域研究中ℤ也被稱作“有理整數”（有理數域中的整數），以區別於其餘的代數整數。

代數數域F中的整數環與 ℤ 有不同的代數性質。不一定是唯一分解整環。舉例來說，設F=ℚ(−5)，F中的整數環是。都是中的“素數”。正整數6，作為中的元素，它的素因數分解有兩種方式：

有理整數的唯一分解性質在不少代數數域的整數環中失效。這個事實說明了拉梅對費馬大定理的證明是錯誤的。為此庫默爾等引進了理想數來作為彌補，由此發展出理想理論。代數數論中一個重要的事實是：的每個理想都可以唯一表示為素理想的乘積，即為戴德金整環。這種“理想的唯一素分解”可部分彌補“代數整數一般不能唯一素因子分解”的不足，在歷史上使代數數論發展起來。