域擴張

域擴張（field extensions）是數學分支抽象代數之域論中的主要研究對象，基本想法是從一個基域開始以某種方式構造包含它的“更大”的域。域擴張可以推廣為環擴張。

基本介紹

• 中文名：域擴張
• 外文名：field extensions
• 領域：數學
• 套用：抽象代數

定義

設L是一個域。如果 是 的一個子集在域L中的加法與乘法運算封閉且中每個元素的加法與乘法逆仍在 中，則我們說 是 的一個子域， 看作上的擴域，叫做 上的域擴張，記作 。

的包含 的任一子域叫做域擴張的一個中間域（或中間擴張或子擴張）。

給定一個域擴張 以及 的一個子集S，我們記為 包含 與的最小子域。我們說由將S中元素添加到 中生成。如果S只包含一個元素s，我們通常記成。這樣形式的域擴張稱為單擴張，而s稱為這個擴張的本原元。

給定一個域擴張 ，則L也可視為 上一個矢量空間。 中的元素是矢量而K中的元素是數量。矢量加法就是 中加法，數量乘法是用 中的元素乘以L中的元素。這個矢量空間的維數稱為擴張的度數，記作。

度數1的擴張（即 等於 ）稱為平凡擴張。度數為2和3的擴張分別稱為二次擴張與三次擴張。由度數是有限或無限決定一個擴張稱為有限擴張或無限擴張。

基本性質

如果 是一個域擴張，則 和 有相同的0和1。加法群是的一個子群，乘法群 是 的一個子群。特別地，如果是 的一個元素，則在 中的加法逆−x與在 中的加法逆相同；同樣對K中非零元素的乘法逆也成立。特別地， 與 的特徵相同。

設有域擴張 及某箇中間域F，則域擴張 和 的次數乘積等於 的次數：

代數元與超越元

給定域擴張L/K，如果L中一個元素a是某個以K中元素為係數的（非零）多項式（以下簡稱為K-多項式）的根，則稱a是K上的一個代數元，否則稱其為超越元。如果L中每個元素都是K上的代數元，就稱域擴張L/K為代數擴張，否則稱其為超越擴張。例如 和 都是 上的代數元，而e與π都是 上的超越元。 上的代數元和超越元分別叫做代數數與超越數。

每個有限擴張都是代數擴張，反之則不然。超越擴張必然是無限擴張。給定域擴張 ，如果L中元素要么屬於K，要么是K上的超越元，則稱L是K的純超越擴張。一個單擴張如果由添加代數元生成則是有限擴張，如果由添加超越元生成則是純超越擴張。

例子

複數域 是實數域 的擴域，而 則是有理數域 的擴域。這樣，顯然 也是一個域擴張。實數到複數的域擴張次數： 。因為 可以看作是以 為基的實向量空間。故擴張 是有限擴張。 ，所以這個擴張是單擴張。

集合 是在 中添加 生成的擴域，顯然也是一個單擴張。它的次數是2，因為 可作為一個基。 的有限擴張也稱為代數數域，在代數數論有重要地位。

有理數的另一個擴張域是關於一個素數p的p進數域 。它與 類似，是有理數域完備化得到的數域。但由於使用的拓撲不同，所以與 有著截然不同的性質。

對任何的素數p和正整數n，都存在一個元素個數為p的有限域，記作GF(p)。它是有限域GF(p)（即 ）的擴域。

給定域K和以K中元素為係數的K-不可約多項式P，P為K上的多項式環K[X]的元素。P生成的理想是極大理想，因此K[X]/P是域，而且是K的擴域。其中不定元X是多項式P的根。

給定域K，考慮所有以K中元素為係數的有理函式，即可以表示為兩個以K中元素為係數的多項式P、Q之比：PQ的函式。它們構成一個域，記作K(X)，是多項式環K[X]的分式域。它是域K的擴域，次數為無限大

正規、可分與伽羅瓦擴張

伽羅瓦擴張是伽羅瓦理論中的基礎概念。有限的伽羅瓦擴張滿足伽羅瓦理論基本定理，在此擴張的伽羅瓦群的子群與其中間域之間建立了一一對應的關係，從而給出了中間域的清晰描述。

一般定義伽羅瓦擴張是正規且可分的域擴張。一個域擴張L/K稱為正規擴張，如果對任何一個以K中元素為係數的不可約多項式P，只要它有一個根在L中，則它的所有根都在L中，也就是說可以分解為L上一次因式的乘積。正規擴張也叫做準伽羅瓦擴張，它與伽羅瓦擴張的差別是伽羅瓦擴張還是可分擴張。一個代數擴張L/K稱為可分擴張，如果L中每個元素在K上的極小多項式是可分的，即（在K的一個代數閉包中）沒有重根。從以上正規擴張和可分擴張的定義中可以推出：一個域擴張L/K是伽羅瓦擴張，若且唯若它是某個以K中元素為係數的可分多項式的分裂域。

伽羅瓦擴張的自同構群稱為其伽羅瓦群，記作Gal(L/K)。它的階數（群中元素個數）等於伽羅瓦擴張的次數：[L:K]= | Gal(L/K) |。伽羅瓦理論基本定理說明，當伽羅瓦擴張是有限擴張的時候，給定Gal(L/K)的任一個子群H，唯一存在一個中間域K⊂L⊂L與之對應，這個域L恰好是L中對所有的H中的自同構固定的元素的集合：

這種對應關係被稱作伽羅瓦對應。給定Gal(L/K)的子群H，L被稱為H的對應域。伽羅瓦對應建立了特定條件下域擴張與群論之間轉化的紐帶，通過研究特定群的結構，可以給出域擴張的仔細刻畫。

注釋

記號L/K純粹是形式的，不表示商環或商群，或其他任何形式的除法。在某些文獻中使用記號L:K。

經常希望在較小的域不是包含在較大的域中但是自然嵌入時談論域擴張。為此，抽象地定義域擴張為兩個域之間的一個單環同態。域之間的任何環同態是單射，故域擴張正好是域範疇中的態射。

在上面的討論中，忽略單同態，處理的是真正的子域。