共軛域(conjugate fields)是一種同構擴域。設L是域F的擴域，E，E′為其兩個中間域，若存在一個F共軛映射σ使σ(E)=E′，則稱E與E′是F上在L內的共軛域。此定義等價於：E與E′是F同構的。
基本介紹
- 中文名：共軛域
- 外文名：conjugate fields
- 領域：數學
- 學科：域論
- 性質：同構擴域
- 映射：共軛映射
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概念
共軛域(conjugate fields)是一種同構擴域。設L是域F的擴域，E，E′為其兩個中間域，若存在一個F共軛映射σ使σ(E)=E′，則稱E與E′是F上在L內的共軛域。此定義等價於：E與E′是F同構的。若α，β是F上同一既約多項式的根，則F(α)與F(β)是F上的共軛域，亦即存在F共軛映射σ使σ(α)=β，這時稱β與α是共軛元。
域
設P是一至少含有兩個元素的環，如果在P中乘法還具有下列性質：
(1)有單位元素，即在P中有一元素e，使ea=ae=a，對所有的a∈P；
(2)有逆元素，即對p中每個非零元素a都有一元素a-1，使a-1a=aa-1=e；
(3)交換律成立，即ab=ba，a，b∈P，那么P就叫做一個域。域有下列的基本性質：
(1)域沒有零因子；
(2)若集F在兩個 二元運算(加法和乘法)下滿足下列條件，則F為一個域：
①F是以零為單位元的加法群；
②由除零外的F的一切元組成的集在乘法下是一個交換群；
③乘法對加法是可分配的；
(3)在域F中，方程ax=b(a，b∈F，a≠0)有唯一的解，並記作x=a/b；
(4)在F中，指數律成立；
(5)若把域F的單位元e的n倍ne記作n，則F中任一元a的n倍na就是n與a的積na。
域的擴張
域論的基本概念之一。若域K包含域F作為它的子域，則稱K是F的一個擴張(或擴域)，F稱為基域，常記為K/F。此時，K可以看成F上的向量空間。研究擴域K(相對於基域F)的代數性質，是域論研究的一個基本內容。
若域E是F的擴域，K是E的擴域，則稱E是域擴張K/F的中間域。若K/F是域擴張，S是K的子集，且F(S)是K的含F與S的最小子域，稱F(S)為F添加S的擴域。當S={α1，α2，…，αn}是有限集合時，F(α1，α2，…，αn)稱為添加α1，α2，…，αn於F的有限生成擴域(或者F上的有限生成擴張)。它由一切形如f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)的元組成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多項式且g(α1，α2，…，αn)≠0。
由於這個原因，當F(α1，α2，…，αn)關於F的超越次數≥1時，F(α1，α2，…，αn)也稱為F上的代數函式域。當S={α}時，稱F(α)為F的單擴張域，也稱本原擴域。F的有限代數擴域K是單擴域的充分必要條件是，擴域K與基域間存在有限箇中間域。這是施泰尼茨(Steinitz，E.)證明的。
同構
兩個數學系統(例如兩個代數系統)，當它們的元素及各自所定義的運算一一對應，並且運算結果也保持一一對應，則稱這兩個系統同構，記為≌。它們對於所定義的運算，具有相同的結構。例如，十進制數與二進制數是同構的。
建立同構關係的映射，稱為同構映射。例如，當映射為一一映射，並且對應元素關於運算保持對應時，就是同構映射。
同構是數學中最重要的概念之一。在很多情況，一個難題往往可以化成另一個同構的、似乎與它不相關的、已經解決的問題，從而使原問題方便地得到解決。雖然數學發展得越來越複雜，但利用同構概念，不僅使數學得到簡化，而且使數學變得越來越統一。表面上似乎不同，但本質上等價的結果，可以用統一的形式表達出來。例如，如果四色定理得到了證明，其他數學分支中與它同構的幾十個假設，也同時得到了證明。
共軛
群中一種重要的等價關係。設S，T是群G的兩個非空子集，H是G的子群，若存在H中元素g使得T=g-1Sg=S，則稱S和T關於H共軛，其中T=gSg={g-1sg|s∈S}稱為S按g的變形.若S為G的子群，T稱為S關於H的共軛子群；若S={s}為一個元的集合，則稱t=gsg為s關於H的共軛元。當H=G時，通常就不加“關於G”這個修飾詞了。共軛關係是一種等價關係。設S是群G的一個子集，H是G的一個子群，與S關於H共軛的所有子集組成的集合稱為S關於H的共軛類。當S={s}為一個元素的集合，s關於G的共軛類是元素的集合，就簡稱G(的元素)的一個共軛類。
共軛映射
刻畫共軛域、共軛元的工具。若域F的擴域K的代數閉包為Ω，則K到Ω內的保持F中元不變的同態單射稱為K到Ω內的F共軛映射。若記K到Ω內的一切F共軛映射的個數為l(K/F)，則可以證明它與代數閉包Ω的選取無關。若K是F的代數擴域，E為其中間域，則l(K/F)=l(K/E)·l(E/F)。
