代數閉包

代數閉包(algebraic closure)是一個域的最大代數擴域。若域F的代數擴域Ω為代數閉域，則稱Ω為域F的一個代數閉包。一個域F的代數閉包總是存在的，並且在F同構意義下惟一。這個基本定理來自施泰尼茨(Steinitz，E.)。設K是域F的擴域，在K中F上代數元的全體組成的子域A稱為F在K內的代數閉包，它是F在K內的最大代數擴域。特別地，若F=A，則稱F在K內是代數閉的。

基本介紹

• 中文名：代數閉包
• 外文名：algebraic closure
• 領域：數學
• 學科：圖論
• 提出者：施泰尼茨
• 套用：凸集分離定理

概念

代數閉包(algebraic closure)是實線性空間中的集合的代數意義下的閉包。設A為實線性空間X中的集合。A的代數閉包是指這樣的點b∈X的全體：存在h∈X，對於任何ε>0，存在λ∈[0，ε]，使得b+λh∈A。A的代數閉包常記為acl(A)。如果A=acl(A)，那么A稱為代數閉集。它也是X在以代數開集為開集的拓撲意義下的閉集，即代數閉集的余集必定是代數開集；反之亦然。代數閉包的概念在敘述凸集分離定理時也起重要作用。

有的文獻定義代數閉包時，要求對於任何λ∈(0，ε)都有b+λh∈A。這時代數閉集就不再是代數開集的余集。但當A是多於一點的凸集時，由這兩種定義得到的代數閉包是相同的。

代數閉域

代數閉域是一類重要的域。指次數大於1的多項式均可分解的域。若域K上多項式環K[x]中的每一個次數大於零的多項式在K中都有一個根，則稱K為代數閉域。從而在K[x]中每個次數大於零的多項式能分解為一次因式之積。1910年，施泰尼茨(Steinitz，E.)在他發表的基本論文中首先證明：每個域都可以經代數擴張得到一個代數閉域。

凸集分離定理

凸集分離定理是凸集理論的最基本的定理。它是指在很弱的條件下，兩個不相交的凸集總可用超平面分離。設A，B為實線性空間X中的兩個非空子集。

為X中的一個超平面。如果對於任何x∈A和y∈B，有：

那么稱超平面H分離A和B；如果不等號中有一個是嚴格的，那么稱H嚴格分離A和B；如果存在ε>0，使得任何x∈A和y∈B滿足：

那么稱H強分離A和B。基本的凸集分離定理如下：如果A-B凸，其相對代數內部icr(A-B)非空，且不包含原點，那么A和B可用超平面分離；如果同時還有其代數閉包acl(A-B)不包含原點，那么A和B可用超平面強分離。注意到有限維空間中的凸集的相對內部總非空，由此可得，R中的兩個不相交的凸集總可用超平面分離。

在拓撲線性空間X中討論凸集分離定理，常要求所用的超平面是閉的.這時基本的凸集分離定理為：如果A-B凸，其內部Int(A-B)非空，且不包含原點，那么A和B可用閉超平面分離；如果同時還有A-B的閉包cl(A-B)不包含原點，那么A和B可用閉超平面強分離。因為一般的拓撲線性空間中可能根本不存在閉超平面，所以有內部非空的凸集的存在也是閉超平面存在的充分必要條件，其中必要性由超平面形成的開半空間是內部非空的凸集而得。當X是局部凸空間(包括巴拿赫空間)，即它具有零的凸鄰域基時，上述內部可改為相對內部，且在後半部分可不要求A-B的內部或相對內部非空。一種常用的形式如下：設A是局部凸空間X中的閉凸集，B是X中的緊凸集。如果A和B不相交，那么它們可用閉超平面強分離。

凸集分離定理有很多等價定理，其中最著名的是哈恩-巴拿赫定理。它是凸分析的基礎，也在基礎數學與套用數學的許多領域中起著重要作用。這一定理有很直觀的形象：平面上的兩個不相交的凸集可用直線把它們分離，但是其一般情形的證明必須用選擇公理或其等價定理(佐恩引理、超限歸納法等)。定理的雛形是20世紀初由閔科夫斯基(Minkowski，H.)提出的。

施泰尼茨

德國數學家。生於德國西里西亞(Silesia)(今屬波蘭)，卒於基爾(Kiel)。1894年獲得博士學位，後任教於布雷斯勞(Breslau)工業學院(1910～1920)和基爾大學(1920—1928)。他對抽象域進行了綜合的研究，著有《域的代數理論》(AlgebraischeTheorie der Körper，1910)。 施泰尼茨認為，每一個域K都可以從它的素域(即K的所有子域的公共元素所構成的子域)出發，經過如下的添加而得到：首先作一系列(可能無限多的)超越添加(transcendentaladjunction)得到一個超越擴張，然後對這個超越擴張又作一系列代數添加。如果一個域K’能夠從一個域K經過一串單純代數添加而得到，那么就稱K’為K的一個代數擴張。施泰尼茨證明了，對於每一個域K，存在一個唯一的代數封閉域K’，使得K’是K的代數擴張。他還研究了伽羅瓦方程理論在域中的有效性問題。