設F是域K的子集，對於K的加法和乘法運算，F也做成一個域，則稱F是K的一個子域，K是F的一個擴域，記作K/F，稱K/F為一個域擴張。設 ，E/F和K/E都是域擴張，則稱E是K/F的一個中間域。
可分閉包(separable closure)是一種特殊的代數擴域。即域上最大的可分代數擴域。設K是F的代數擴域，K內所有F上的可分元組成的子域S稱為F在K內的可分閉包，它是F在K內可分擴域的最大者。
基本介紹
- 中文名：可分閉包
- 外文名：separable closure
- 領域：數學
- 性質：特殊的代數擴域
- 定義：域上最大的可分代數擴域
- 相關擴張：可分擴張
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概念
可分閉包(separable closure)是一種特殊的代數擴域。即域上最大的可分代數擴域。設K是F的代數擴域，K內所有F上的可分元組成的子域S稱為F在K內的可分閉包，它是F在K內可分擴域的最大者。若K是F的代數閉包，則稱F在K內的可分閉包為F的可分閉包，記為Fsep，它除F同構外是惟一的。利用可分閉包，可將一個代數擴張分為一個可分擴張和一個純不可分擴張來研究。
域
設F是域K的子集，對於K的加法和乘法運算，F也做成一個域，則稱F是K的一個子域，K是F的一個擴域，記作K/F，稱K/F為一個域擴張。設，E/F和K/E都是域擴張，則稱E是K/F的一個中間域。設F是域K的子域，T是K的子集，K/F的含T的所有中間域的交仍是K/F的中間域，這個域記作F(T)，稱為F添加T所得到的擴域，或稱T在F上生成的域。當T= {t1，…，tn} 是K的有限子集時，記F(T)=F(t1，…，tn)，稱這個域是在F上有限生成的。特別地，添加一個元素t於F中而得到的擴域F(t)稱為F的單擴域。域F的擴域K可以看成F上的向量空間，如果K在F上的維數是有限的，則稱K是F的有限次擴域，K/F是有限次域擴張。K在F上的維數記作〔K：F〕，稱為K在F上的次數。設E是域擴張K/F的中間域，則〔K：F〕=〔K：E〕〔E：F〕。如果一個域沒有真子域，就稱為一個素域，在同構的意義下，只有有理數域Q和以素數p為模的剩餘類環Z/(p)是素域。任何一個域F的一切子域的交F0是一個素域，如果F0≌Q，則稱F是特徵零的，如果F0≌Z/(p)，則稱F是特徵p的，F的特徵記作CharF。設F是域K的子域，α∈K稱為F上的代數元，如果存在F上的非零多項式f(x)，使得f(α)=0，否則，則稱α是F上的超越元。設K/F是一個域擴張，如果K的每個元都是F上的代數元，則稱K/F是代數擴張，否則稱K/F為超越擴張。設K/F是一個域擴張，設A是K中在F上的代數元的全體，則A是K/F的中間域，稱F在K中的代數閉包。一個域K稱為是代數閉域，如果K〔x〕中每個次數大於零的多項式在K中有一個根。域F的一個擴域Ω稱為F的代數閉包，如果 (1)Ω是代數閉域;(2)Ω是F的代數擴域。任何一個域都有一個代數閉包。設E，E′都是域F的擴域，如果E，E′都域F的某個擴域的子域，而且存在E到E′的同構使F中的元不動 (稱為F-同構)，則稱E與E′在F上共軛，簡稱F-共軛。設E/F是一個域擴張，如果E/F是代數擴張，而且任意與E是F-共軛的域都等於E，則稱E/F是正規擴張。設F是一個域，f(x)∈F[x]，degf(x)>0，如果K是F的擴域，在K[x]中，f(x)=a(x-a1) …(x-an)，a∈F，a1，…，an∈K，而且K=F(a1，…，αn)，則稱K是f(x)在F上的一個分裂域。域F上的次數大於零的多項式f(x)，如果在F的某個代數閉包Ω內的根都是單根，則稱f(x)是可分的，否則就是不可分的。a是域F上的代數元，a滿足的最高次項係數為1的最低的多項式稱為a的極小多項式。設K/F是一個代數擴張，如果K的每個元素在F上的極小多項式都是可分的，則稱K/F是一個可分擴張。只含有限個元素的域稱為有限域，有限域的特徵必是某個素數p。設F含有q個元素，F的素域p含有p個元素，[F： P] =f，則q=pf。兩個有限域同構若且唯若它們有相同的元素個數。設Fg是含有q個元素的有限域，Fg的一切非零元素對於Fg的乘法做成q-1階循環群，從而有限域的有限次擴域都是單擴域。
代數閉包
一個域的最大代數擴域。若域F的代數擴域Ω為代數閉域，則稱Ω為域F的一個代數閉包。一個域F的代數閉包總是存在的，並且在F同構意義下惟一。這個基本定理來自施泰尼茨(Steinitz，E.)。設K是域F的擴域，在K中F上代數元的全體組成的子域A稱為F在K內的代數閉包，它是F在K內的最大代數擴域。特別地，若F=A，則稱F在K內是代數閉的。
域擴張
域論的基本概念之一。若域K包含域F作為它的子域，則稱K是F的一個擴張(或擴域)，F稱為基域，常記為K/F。此時，K可以看成F上的向量空間。研究擴域K(相對於基域F)的代數性質，是域論研究的一個基本內容。
若域E是F的擴域，K是E的擴域，則稱E是域擴張K/F的中間域。若K/F是域擴張，S是K的子集，且F(S)是K的含F與S的最小子域，稱F(S)為F添加S的擴域。當S={α1，α2，…，αn}是有限集合時，F(α1，α2，…，αn)稱為添加α1，α2，…，αn於F的有限生成擴域(或者F上的有限生成擴張)。它由一切形如：
f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)
的元組成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多項式且
g(α1，α2，…，αn)≠0.
由於這個原因，當F(α1，α2，…，αn)關於F的超越次數≥1時，F(α1，α2，…，αn)也稱為F上的代數函式域。當S={α}時，稱F(α)為F的單擴張域，也稱本原擴域。F的有限代數擴域K是單擴域的充分必要條件是，擴域K與基域間存在有限箇中間域。這是施泰尼茨(Steinitz，E.)證明的。
可分擴張
一種重要的域擴張。其特徵為p的域F的任意擴張K/F，Ω是K的代數閉包，若K與：
F={α∈Ω|α∈F}
