素域

素域是一種重要的域，指不含任何真子域的域。任何一個域F都有單位元e，考慮加群{0，±e，±2e，…，±me，…}，它有兩種可能：

1.對任意非零整數m，me≠0，若S={ne/me|m，n為整數，m≠0}，則S是F的子域且同構於有理數域，此時稱F的特徵(數)為零；

2.存在正整數m，me=0，若p是使pe=0的最小正整數，則p必為素數，稱為F的特徵(數)，若S={0，e，…，(p-1)e}，則S是F的子域且與整數環模p的域同構，當F=S時,稱F是素域,因此任意域都含有一個素子域。

基本介紹

• 中文名：素域
• 外文名：prime field
• 所屬學科：數理科學
• 特點：不含任何真子域的域
• 別名：最小域

基本概念

擴域(或擴張)：如果域F是域E的一個子域，則稱域E為子域F的一個擴域(或擴張)，並用符號 ，表示E是F的擴域(或擴張)。

例1 複數域是實數域的擴域，而複數域和實數域又都是有理數域的擴域。

我們知道，任何數域都包含有理數域，即有理數域是最小的數域，它不再含有任何真子域。

素域(或最小域)：如果一個域F不含真子域，則稱F是素域(或最小域)。

例2 有理數域是素域，剩餘類環 是素域。

相關定理

定理1

任何域E都含素域。

證明 設e是域E的單位元，且令 ，顯然Z’是域E的子環，作映射 ，則 是整數環Z到Z’的一個同態滿射。

(1)當char E=∞時，則 是同構映射，從而 。

但同構的環的商域也同構，即Z的商域 Z’的商域，又Z的商域是有理數域Q，E包含Z'，因而E包含Z'的商域，再由有理數域Q是素域，故Z’的商域也是素域，即域E包含素域。

(2)當char E=p時，則易知， ，故 ．由於 是素域，故Z’是素域，從而域E包含素域。

綜上所證，定理得證。

這個定理告訴我們，一個域E，當特徵是 時，包含一個與有理數域同構的素域，當特徵是素數p時，E包含一個與 同構的素域，即有下列推論：

推論1

任意域包含且只包含一個素域，任意域都是一個素域的擴張。

推論2

設E是一個域，則當char E=∞時．E包含一個與Q同構的素域；當char E=p時，E包含一個與 同構的素域。

這個定理同時也說明，任意域都是一個素域的擴張，因此，可以從素域出發來研究擴域，而且如果這樣的擴域研究清楚了，也就是弄清楚了所有的域。但實踐證明，從素域出發來研究擴域並沒有什麼特別的優越性，因此，我們不是由素域出發而得到擴域，而是對任意域F出發通過添加來研究其擴域。

性質1

若域△不含真子域，則稱△是一個素域。

例如：有理數域Q和以p(素數)為模的剩餘類域 都是素域。

性質2

設△是一個素域，若△特徵是 ，則△與有理數域同構；若△的特徵是素數p，則△與以p為模的剩餘類域 同構。

基本題型

1. 證明Q和(P為素數)都是素域。

證：(1)設F是Q的子域，則1∈F，若n是任一整數，於是有，從而對任有理數芋(p，q為整數)·有，故，即：，從而Q=F。

(2)設F是的子域，則[1]∈F，任意元素，有

於是，從而。

2. 設F是特徵為素數p的一個域，證明：

作成E的一個子域，且為E中的素域。

證：令，定義映射

易證，是同構映射，從而△是E的子域，再由是素域可知△也是素域。