實數域是實數所在的有理集合，具有連續性、完備性、有序性等性質。
基本介紹
- 中文名：實數域
- 外文名：real number field
- 學科：數學
歷史,實數背景,實數的公理系統,實數域的特性,連續性,有序性,完備性,
歷史
埃及人早在公元前1000年就開始運用分數了。在公元前500年左右，以畢達哥拉斯為首的希臘數學家們就意識到了無理數存在的必要性。印度人於公元600年左右發明了負數，據說中國也曾發明負數，但稍晚於印度。在1871年，德國數學家康托爾最早地全面地給出了實數的定義。
實數背景
實數是可以用來測量連續的量的。實數的個數是無窮的。理論上，任何實數都可以用無限小數的方式表示，小數點的右邊是一個無窮的數列（可以是循環的，也可以是非循環的）。在實際運用中，實數經常被近似成一個有限小數（保留小數點後n位，n為正整數）。在計算機領域，由於計算機只能存儲有限的小數位數，實數經常用浮點數（floating point numbe）
實數的公理系統
實數可以不同方式從有理數（即分數）構作出來。設 R 是所有實數的集合，則：集合 R 是一個體：可以作加、減、乘、除、乘方運算，且有如交換律，結合律等運算律。
集合 R 是有序的：設
，則：若
則 
若 
且
則
.
集合 R 是完整的：設 R 的一個非空的子集S，如果S在R內有上限，那么S在R內有最小上限。
最後一條是區分實數和有理數的關鍵。例如：所有平方小於2的有理數的集合存在有理數上限， 但是不存在有理數最小上限。實數是唯一適合以上特性的集合：亦即如有兩個如此集合，則兩者之間必存在代數學上所稱的域同構，即代數學上兩者可看作是相同的。
實數域的特性
連續性
數軸上的任何一點都可以用一個實數來表示，每個實數也對應著數軸上的一個點，可見全體實數正好鋪滿了數軸，這個性質稱為實數的連續性。
有序性
對於任意a，b ∈R，必滿足下述三個關係之一：
(i) a<b
(ii) a=b
(iii) a>b
對任意
，若
，
，則存在正整數n，使得
推論： 任意兩個不相等的實數間必然存在一個有理數（1）。
證明：
設
，且
。由阿基米德性，必存在自然數N，使得
.
任意取定有理數
，由於
，a-γ(0)》0
，故存在
，使得
.可見，數列
中總有一項大於a.
設 
為此數列第一個大於α的項，於是
，故
即 
，而 
顯然為有理數，即證。
類似可以證明：任意兩個不相等的實數之間必存在一個無理數。於是有：任意兩個不相等的實數之間必有一個實數。
（1）也可以描述為：在任意一個區間（α,β）內都存在有理數。
