在數學中，一個柯西序列是指一個這樣一個序列，它的元素隨著序數的增加而愈發靠近。更確切地說，在去掉有限個元素後，可以使得餘下的元素中任何兩點間的距離的最大值不超過任意給定的正的常數。柯西列是以數學家奧古斯丁·路易·柯西的名字命名的。
基本介紹
- 中文名：柯西序列
- 外文名：cauchy sequence
- 適用範圍：度量空間
- 創始人：奧古斯丁·路易·柯西
- 領域：數學
- 依賴於：距離的定義
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簡介
柯西列的定義依賴於距離的定義，所以只有在度量空間(metric space)中柯西列才有意義。在更一般的一致空間(uniform space)中，可以定義更為抽象的柯西濾子(Cauchy filter)和柯西網(Cauchy net)。
一個重要性質是，在完備空間（complete space）中，所有的柯西列都有極限，這就讓人們可以在不求出這個極限（如果存在）的情況下，利用柯西列的判別法則證明該極限是存在的。柯西列在構造具有完備性的代數結構的過程中也有重要價值，如構造實數。
複數序列
一個複數序列
被稱為柯西列，如果對於任何正實數r>0，存在一個正整數N使得對於所有的整數
，都有
類似地，我們可以定義實數的柯西列。
度量空間中
形式上說，給定任何一個度量空間(M,d)，一個序列
直觀上說，一個序列中的元素越來越靠近似乎說明這個序列必然在這個度量空間存在一個極限，而事實上在某些情況下這個結論是不對的。
例子
對於所有多項式組成的空間，定義每個多項式的範數是其係數絕對值的最大值，兩個多項式之間的距離則是它們的差的範數。考慮多項式列：
，滿足：
。這個多項式列中，對任意
，趨於零，因此它是一個柯西列。但這個柯西列顯然不收斂，因為它的元素次數趨於無窮。
性質
完備性
一個度量空間X中的所有柯西數列都會收斂到X 中的一點 ，那么X被稱為是一個完備空間。
- 例子：實數
實數是完備的，而且標準的實數構造包含有理數的柯西列。
- 反例：有理數
有理數Q在通常定義的距離意義下不是完備的：
存在某個由有理數組成的序列，收斂到某個無理數，所以這數列在有理數這空間是不收斂的。
例如：
如下定義的序列：
，即
。可以證明這個序列收斂到一個無理數
。
對於每個給定的
而言，以下函式
的值都可以表示為一個有理數序列的極限，但當x為有理數時，這個值卻是無理數。
其他性質
任何收斂數列必然是柯西列，任何柯西列必然是有界序列。
