完備空間

完備空間或者完備度量空間是具有下述性質的空間：空間中的任何柯西序列都收斂在該空間之內。以有限維空間來說，向量的範數相當於向量的模的長度。但是在有限維歐式空間中還有一個很重要的概念—向量的夾角，特別是兩個向量的正交。內積空間是特殊的線性賦范空間，在這類空間中可以引入正交的概念以及投影的概念，從而在內積空間中建立起相應的幾何學。用內積導出的範數來定義距離，Banach空間就成為了希爾伯特空間。

基本介紹

• 中文名：完備空間
• 外文名：Complete Space
• 又名：完備度量空間
• 性質：空間任何柯西序列都收斂在該空間
• 套用學科：數學
• 相關術語：希爾伯特空間

直觀理解

在數學及其相關領域中，一個對象具有完備性，即它不需要添加任何其他元素，這個對象也可稱為完備的或完全的。更精確地，可以從多個不同的角度來描述這個定義，同時可以引入完備化這個概念。但是在不同的領域中，“完備”也有不同的含義，特別是在某些領域中，“完備化”的過程並不稱為“完備化”，另有其他的表述，請參考代數閉域、緊化(compactification)或哥德爾不完備定理。

直觀上講，一個空間完備就是指“沒有孔”且“不缺皮”，兩者都是某種“不缺點”。沒有孔是指內部不缺點，不缺皮是指邊界上不缺點。從這一點上講，一個空間完備同一個集合的閉包是類似的。這一類似還體現在以下定理中：完備空間的閉子集是完備的。

完備化

定義

對任一度量空間M，我們可以構造相應的完備度量空間M'（或者表示為 ），使得原度量空間成為新的完備度量空間的稠密子空間。M'具備以下普適性質：若N為任一完備度量空間，f為任一從M到N的一致連續函式，則存在唯一的從M'到N的一致連續函式f'使得該函式為f的擴展。新構造的完備度量空間M'在等距同構意義下由該性質所唯一決定，稱為M的完備化空間。

以上定義是基於M是M'的稠密子空間的概念。我們還可以將完備化空間定義為包含M的最小完備度量空間。可以證明，這樣定義的完備化空間存在，唯一（在等距同構意義下），且與上述定義等價。

對於交換環及於其上的模，同樣可以定義相對於一個理想的完備性及完備化。詳見條目完備化 (環論)。

構造

類似於從有理數域出發定義無理數的方法，我們可以通過柯西序列給原空間添加元素使其完備。

對M中的任意兩個柯西序列x=(x_n)和y=(y_n)，我們可以定義它們間的距離： d(x,y) = lim_nd(x_n,y_n)（實數域完備所以該極限存在）。按此方式定義的度量還只是偽度量，這是因為不同的柯西序列均可收斂到0。但我們可以象很多情況中所做的一樣（比如從L到 ），將新的度量空間定義為所有柯西序列的集合上的等價類的集合，其中等價類是基於距離為0的關係（易於驗證該關係是等價關係）。這樣，令ξ_x= {y是M上的柯西序列：，M'={ξ_x：x ∈ M}，原空間M就以xξ_x的映射方式嵌入到新的完備度量空間M'中。易於驗證，M等距同構於M'的稠密子空間。

康托法構造實數是該完備化方法的一個特例：實數域是有理數域作為以通常的差的絕對值為距離的度量空間的完備化空間。

性質

康托爾的實數建構是上述構造的特例；此時實數集可表為有理數集對絕對值的完備化。倘若在有理數集上另取其它的絕對值，得到的完備空間則為p進數。

若將上述流程施於賦范向量空間，可得到一個巴拿赫空間，原空間是其中的稠密子空間。若施於一個內積空間，得到的則是希爾伯特空間，原空間依然是其稠密子空間。

相關定理

• 任一緊緻度量空間都是完備的。實際上，一個度量空間是緊緻的若且唯若該空間是完備且完全有界的。
  
• 完備空間的任一子空間是完備的若且唯若它是一個閉子集。
  
• 若X為一集合，M是一個完備度量空間，則所有從X映射到M的有界函式f的集合B(X,M)是一個完備度量空間，其中集合B(X,M)中的距離定義為：
  

。

• 若X為一拓撲空間，M是一個完備度量空間，則所有從X映射到M的連續有界函式f的集合C_b(X,M)是B(X,M)（按上一條目的定義）中的閉子集，因而也是完備的。
  
• 貝爾綱定理：任一完備度量空間為一貝爾空間。就是說，該空間的可數個無處稠密子集的並集無內點。
  

例子

（1）有理數空間不是完備的，因為 的有限位小數表示是一個柯西序列，但是其極限 不在有理數空間內。

（2）實數空間是完備的

（3）開區間(0,1)不是完備的。序列(1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...)是柯西序列但其不收斂於(0, 1)中任何的點。

（4）令S為任一集合，S為S中的所有序列。如下定義S上任意兩個序列(x_n)和(y_n)的距離：如果存在某個最小的N，使 ，那么定義距離為1/N；否則（所有的對應項都相等）距離為0。按此方式定義的度量空間是完備的。該空間同胚於離散空間S的可數個副本的積。

相關概念

完備與閉：前面講，完備類似於閉，那么，“完備”與“閉”的區別在何處呢？它們的區別在於，完備是空間或集合的性質，而閉是子集的性質。通常我們說某個集合是閉集或開集，實際上是指該集合是R或某個拓撲空間的閉子集或開子集。例如，開區間(0, 1)是全集(0, 1)或的閉子集，因為(0, 1)在這兩個全集中的導集是其自身。但(0, 1)是R的開子集。閉子集可以用收斂序列定義，因為收斂序列的極限點總是在全集中的，極限點在子集中與否決定該子集是否為閉子集。與此相對，完備性的定義中沒有全集的概念，這也是為什麼在其定義中必須用柯西序列而不能用收斂序列，因為在收斂序列的定義中必有極限點，若該極限點不在度量空間中，則收斂序列中的點到該極限點距離是未定義的。

拓撲完備空間

注意完備性是度量的屬性，而不是拓撲的屬性，這意味著完整的度量空間可以與非完整的度量空間同構。實數由實數給出，它們是完整的，但是與開放間隔（0,1）是同構的，其不完整。

在拓撲中，考慮到完全符合條件的空格，空間至少存在一個導致給定拓撲的完整度量。完全可容納的空間可以表征為可以寫成一些完整度量空間的數量眾多的開放子集的交集的空間。由於Baire類定理的結論純粹是拓撲的，它也適用於這些空間。

完全可容納的空間通常稱為拓撲完整。然而，後一個術語是有些任意的，因為度量不是可以談論完整性的拓撲空間中最通用的結構（參見替代和概括部分）。實際上，一些作者使用拓撲完整的術語來形容更廣泛的拓撲空間，這是完全可以統一的空間。

與可分離完整度量空間同構的拓撲空間稱為波蘭空間。

替代和概括

由於柯西序列也可以在一般拓撲組中定義，依賴度量結構來定義完整性和構建空間完成的替代方法是使用組結構。這通常在拓撲向量空間的內容中看到，但是僅需要存在連續的“減法”操作。

也可以通過柯西網或柯西濾波器來取代柯西序列的完整性定義。如果每個柯西網（或等同於每個柯西過濾器）在X中都有一個限制，那么X稱為完整的。柯西網適用的最普遍的情況是柯西空間。