Sobolev空間

數學上，一個索伯列夫空間是一個由函式組成的賦范向量空間，對於某個給定的p ≥ 1，它對一個函式f和它的直到某個k階導數加上有限Lp範數的這個條件。它以前蘇聯數學家謝爾蓋·索博列夫來命名。

基本介紹

• 中文名：索伯列夫空間
• 外文名：Sobolev spaces
• 套用學科：數學
• 相關術語：光滑函式
• 所屬領域：數學
• 定義：由函式組成的賦范向量空間

簡介

對於數學函式的光滑性有很多種。最基本的要求可能就是函式要連續，更進一步的要求是導數（因為可微函式也是連續的），再強一些的概念是導數的連續性（這些函式稱為— 參看光滑函式）。可微函式在很多領域相當重要，特別是在微分方程中。在二十世紀，人們發現函式空間不是研究微分方程的解的恰當的空間。

而索博列夫空間正是空間的替代品，用於研究偏微分方程的解。

技術性討論

我們從最簡單情況下的索博列夫空間開始，也就是單位圓上的一維情況。在這個情況下，索博列夫空間定義為L的子集，使得f和它的直到k階的導數有一個有限的L範數，對於某個給定的p≥ 1。定義正確意義上的導數時必須小心。在這個一維問題中，假設是幾乎處處可微並且等於其導數的勒貝格積分（這可以排除康托函式這樣的例子）就足夠了。

按照這個定義，索博列夫空間有一個自然的範數,

賦予了範數的是一個完備空間。實際上只要取序列中的第一項和最後一項就可以了，也即，如下的範數和上述範數等價。

例子

有些索博列夫空間有簡單的表述。例如，在一維情況，就是絕對連續函式空間，而W是李普希茲函式空間。還有，可以自然地用其傅立葉級數的術語定義，也就是

其中是f的傅立葉級數。和前面一樣，可以採用等價的範數

兩個表達都可以從帕塞瓦爾定理以及微分等價於傅立葉係數乘以in這個事實導出。

非整數k情況

為避免混淆，在討論不是整數的k的時候，我們通常用s來取代它，也即或者。

p等於2

p= 2的情形是最簡單的情形，因為傅立葉表述可以直接推廣。我們定義範數為

而索博列夫空間為具有有限範數的函式的空間。

分數階微分

如果p不是2，就採取類似的方法。在這個情況下帕塞瓦爾定理不再成立，但是微分還是對應於在傅立葉域中的乘法，並且可以推廣到非整數階。因此，可以定義一個分數階微分的運算元其階為s，如下所示

換句話說，取傅立葉變換，乘以再取逆傅立葉變換（定義為傅立葉－乘法－逆傅立葉的運算元稱為乘子，這本身也是一個研究主題）。這使得我們可以定義的索博列夫範數如下

而且，跟平常一樣，索博列夫空間是有有限索博列夫範數的函式的空間。

復插值

獲取“分數索博列夫空間”的另一個辦法是採用復插值。復插值是一個通用的技術：對於任何0 ≤ t ≤ 1 和巴拿赫空間X及Y，且這二者都包含於某個更大的巴拿赫空間中，我們可以創建“過渡空間”，記為[X,Y]_t。（後面將會討論到一個不同的方法，所謂的實插值方法，它對於跡的分類的索博列夫理論有重要的意義）。

多維情況

現在考慮在R及其子集上的索博列夫空間。從圓到線的變化只涉及傅立葉公式的技術細節 — 基本上就是將傅立葉級數變為傅立葉變換，將求和變為積分。到多維情況的轉換有更大的難度，從定義就開始變化。是的積分這個條件無法一般化，而最簡單的解決辦法是考慮分布理論意義下的導數。

由此可以得到一個形式化的定義。令D為R中開集。定義索博列夫空間

為定義於D上的函式f的族，使得對於滿足下式的每個多重索引

是一個函式，且

在它上面的一個合適的範數是所有這樣的α上的那些L範數的和。它是完備的，因此是一個巴拿赫空間。

實際上，這個方法在一維也成立，並且和前面分數階微分中所述並無多大區別。

在多維情況，有些結果不再成立，例如，只包含連續函式。例如，1/|x|屬於，其中是三維的單位球。對於足夠大的k，將只包含連續函式，但是對於哪個k才夠取決於p以及維數這二者。

但是，W和的表述在做了必要的修改之後還是成立的。

索博列夫嵌入

索博列夫空間是的子集。一個很自然的問題是:有沒有其它的L空間包含？索博列夫嵌入定理給出一個簡單的表達（參看）:

定理:令且。則如下命題成立:

若則（作為集合）。而且，包含關係是一個有界運算元。

若則所有有緊支撐的函式是的元素，其中。