等價

設有兩個命題p和q，如果由p作為條件能使得結論q成立，則稱p是q的充分條件；若由q能使p成立則稱p是q的必要條件；如果p與q能互推（即無論是由q推出p還是p推出q都成立），則稱p是q的充分必要條件，簡稱充要條件，也稱p與q等價。

基本介紹

• 中文名：等價
• 外文名：equivalence relation

常用定義

對於兩個命題p、q，如果p⇒q且q⇒p，則稱p是q的充分必要條件，簡稱充要條件，也稱p與q等價。記作A⇔B。

集合中的等價關係

定義

若關係R在集合A中是自反、對稱和傳遞的，則稱R為A上的等價關係。所謂關係R 就是笛卡爾積 A×A 中的一個子集。

A中的兩個元素x,y有關係R，如果(x,y)∈R。我們常簡記為 xRy。

自反： 任意x屬於A，則x與自己具有關係R，即xRx；

對稱： 任意x,y屬於A，如果x與y具有關係R，即xRy，則y與x也具有關係R，即yRx；

傳遞： 任意x,y,z屬於A，如果xRy且yRz，則xRz

x,y具有等價關係R，則稱x,y R等價，有時亦簡稱等價。

舉例

例如：在全體人的集合A中，室友是A上的一種關係，如果認為自己跟自己可以稱為室友，則滿足自反性，但如果甲是乙的室友，則必定乙是甲的室友，滿足對稱性，同時，如果甲是乙的室友，乙是丙的室友，則甲是丙的室友，滿足傳遞性；因此，室友關係可以稱為等價關係。於是在代表宿舍參加活動這一點上，宿舍成員身份是等同的，不論甲還是乙，對外不加區別，即甲乙等價。

其他等價的定義

另外，三角形的全等也是等價關係。因為A全等A；A全等B=>B全等A；A全等B，B全等C=>A全等C。

A中與元素 x 等價的所有元素構成的子集叫做 x 所在等價類， x也稱為這個等價類的代表元。 集合A可以劃分為一些等價類的並集，這些等價類兩兩不相交。 任何元素都必定落在某個等價類裡面。

更廣泛意義的等價，是集合在某種變換下保持不變性。如：矩陣A與稱為等價的，如果B可以是A經過一系列初等變換得到。矩陣在初等變換下是行列式不變的。線上性代數中，契約、相似都是等價關係。