等價矩陣

在線性代數和矩陣論中，有兩個m×n階矩陣A和B，如果這兩個矩陣滿足B=QAP（P是n×n階可逆矩陣，Q是m×m階可逆矩陣），那么這兩個矩陣之間是等價關係。也就是說，存在可逆矩陣，A經過有限次的初等變換得到B。

基本介紹

• 中文名：等價矩陣
• 外文名：Equivalent matrix
• 學科：數學
• 特點：反身性，等價性等
• 類型：等價關係
• 相關名詞：相似矩陣

簡介

在線性代數和矩陣論中，有兩個m×n階矩陣A和B，如果這兩個矩陣滿足B=QAP（P是n×n階可逆矩陣，Q是m×m階可逆矩陣），那么這兩個矩陣之間是等價關係。也就是說，存在可逆矩陣，A經過有限次的初等變換得到B。

證明

a1,a2,....an,線性無關，而a1,a2,....an,b,r線性相關，所以有x1a1+x2a2+....xnan+xb+yr=0,若y=0,則x1a1+x2a2+....xnan+xb=0,說明a1,a2,...an,b線性相關，同理x=0,可得a1,a2,....an,r線性相關。若x,y都不為零，兩邊除以x可得-b=x1/x)a1+(x2/x)a2+...+(xn/x)an+(y/x)r,這表示b可以用a1,a2,....an,r.表示。若除以y可證明r可以用a1,a2,....an,b表示。這就說明a1,a2,....an,b與a1,a2,....an,r等價.綜合可得命題得證。

當A和B為同型矩陣，且r（A）=r（B）時，A，B一定等價。

性質

1. 矩陣A和A等價(反身性）；
2. 矩陣A和B等價，那么B和A也等價(等價性）；
3. 矩陣A和B等價，矩陣B和C等價,那么A和C等價（傳遞性）；
4. 矩陣A和B等價，那么IAI=KIBI。(K為非零常數)
5. 具有行等價關係的矩陣所對應的線性方程組有相同的解
   對於相同大小的兩個矩形矩陣，它們的等價性也可以通過以下條件來表征：

（1）矩陣可以通過基本行和列操作的而彼此變換。

（2）若且唯若它們具有相同的秩時，兩個矩陣是等價的。

規範形式

其中對角線上的1的數目等於k。這是史密斯正則形式的一個特例，它將這個概念概括在向量空間上。