拉克斯等價性定理(Lax equivalence theorem )揭示差分方程相容性、穩定性與收斂性三者之間關係的重要定理。該定理表述為：對於適定的線性偏微分方程組初值問題，一個與之相容的線性差分格式收斂的充分必要條件是該格式是穩定的。該定理以美國數學家拉克斯(Lax , P. D.)命名，利用這一定理，可把困難的收斂性研究轉化成對相容性與穩定性的討論。
基本介紹
- 中文名：拉克斯等價性定理
- 外文名：Lax equivalence theorem
- 領域：數理科學
- 提出者：拉克斯(Lax , P. D.)
- 套用：偏微分方程
- 作用：把難收斂研究轉化成對穩定性討論
簡介,內容,有限差分法,
簡介
拉克斯等價性定理(I,ax equivalence theorem )揭示差分方程相容性、穩定性與收斂性三者之間關係的重要定理。該定理表述為：對於適定的線性偏微分方程組初值問題，一個與之相容的線性差分格式收斂的充分必要條件是該格式是穩定的。該定理以美國數學家拉克斯(Lax , P. D.)命名，利用這一定理，可把困難的收斂性研究轉化成對相容性與穩定性的討論。
內容
定理的重要性在於，儘管有限差分法的解與收斂偏微分方程是一致的，但通常難以確定，因為數值方法是由遞推關係定義的，而微分方程涉及可微的功能。然而，有限差分方法近似正確的偏微分方程的要求是直接驗證的，並且穩定性通常比收斂更容易顯示（並且在任何情況下都需要顯示捨入誤差不會破壞計算）。因此，收斂通常通過拉克斯等價定理來表示。
在這種情況下的穩定性意味著在疊代中使用的矩陣的矩陣範數最多是一致的，稱為（實用的）Lax-Richtmyer穩定性。通常，為了方便而採取馮·諾依曼的穩定性分析，儘管馮·諾依曼穩定僅在某些情況下意味著Lax-Richtmyer的穩定性。
這個定理是由於彼得·拉克斯。有時被稱為Lax-Richtmyer定理，彼得·拉克斯（Robert Lax）和羅伯特·里奇特（Robert D. Richtmyer）之後。
有限差分法
有限差分方法（finite difference method）一種求偏微分（或常微分）方程和方程組定解問題的數值解的方法，簡稱差分方法。
微分方程的定解問題就是在滿足某些定解條件下求微分方程的解。在空間區域的邊界上要滿足的定解條件稱為邊值條件。如果問題與時間有關，在初始時刻所要滿足的定解條件，稱為初值條件。不含時間而只帶邊值條件的定解問題，稱為邊值問題。與時間有關而只帶初值條件的定解問題，稱為初值問題。同時帶有兩種定解條件的問題，稱為初值邊值混合問題。
定解問題往往不具有解析解，或者其解析解不易計算。所以要採用可行的數值解法。有限差分方法就是一種數值解法，它的基本思想是先把問題的定義域進行格線剖分，然後在格線點上，按適當的數值微分公式把定解問題中的微商換成差商，從而把原問題離散化為差分格式，進而求出數值解。此外，還要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的數值穩定性、差分格式的解與原定解問題的真解的誤差估計、差分格式的解當格線大小趨於零時是否趨於真解（即收斂性），等等。
有限差分方法具有簡單、靈活以及通用性強等特點，容易在計算機上實現。
