拉克斯－米爾格拉姆定理

拉克斯－米爾格拉姆定理是數學泛函分析的定理，以彼得·拉克斯和阿瑟·米爾格拉姆命名。這定理可用來藉弱形式求解偏微分方程，因此主要用作有限元法的理論基礎。

基本介紹

• 中文名：拉克斯－米爾格拉姆定理
• 外文名：Weak formulation
• 領域：數學

敘述

設是實希爾伯特空間，其內積記作，導出範數，是雙線性型，使得在上連續：，在上強制（有稱為－橢圓性)：，L是上的連續線性型。

那么存在唯一的，使得對所有都有：

而且如果a是對稱的，那么u是中唯一的元素，使得以下泛函取最小值，對所有，即：

證明

一般情形

套用里斯表示定理到連續線性型上，可知存在唯一的，使得對任意成立。

對所有，映射是上連續線性型，因此同樣可知存在唯一的，使得對任意成立。易知運算元是一個上連續線性自同態。由此可把表示成如下等價形式：

要證明此命題，只要證得A是從到的雙射。首先證明它是單射，再證它是滿射。

從a的強制性，使用柯西－施瓦茨不等式，得到對任何

從而知對任何

這證明了A是單射。

要證明滿射，考慮運算元A在內的像。

不等式(*)表示，如是柯西序列，那么是內的柯西序列。由的完備性，收斂至。因A連續，得出收斂至。

因此為中的閉子空間，由投影定理可知。再設元素，從定義有，因此，故得。所以為，證得A是滿射。

自同態A是雙射，故在記憶體在唯一的u使得Au=f，且可以由得出。

附註

不用求出u，有其範數的上界估計

其中表示對偶空間的範數。

對稱情形

如果雙線性型a對稱，那么對所有有：

因u是命題(1)的唯一解，有

從a的強制性有：

取 ，從上式有 對任意 成立。

套用

這定理是有限元法的基礎。實際上，若不在 內求u，而是在 的有限n維子空間 內求 ，那么

如果a對稱，以a為內積， 是u的投影。

給出 的基 ，上述問題化為求解線性方程組：

其中 ， 。