放大矩陣

放大矩陣是偏微分方程數值解法概念之一，指差分運算元在波數空間的等價表示。局部放大矩陣是差分運算元在波數域的對應表示，指對於係數僅依賴於空間變數 x 的發展方程的一種差分近似。

基本介紹

• 中文名：放大矩陣
• 外文名：amplification matrix
• 適用範圍：數理科學

定義

放大矩陣是偏微分方程數值解法概念之一，指差分運算元在波數空間的等價表示。

設常係數線性差分方程組形為，為一 p 維向量，以表示波數為 k 的傅立葉係數，則有，稱為放大矩陣，差分方程組的穩定性歸結為對一切波數 k 和一切滿足條件及的模一致有界性。

放大因子

[amplification factor]

放大因子亦稱增長因子。由於線性常係數差分方程的精確解和數值解都滿足同一方程，因此解的誤差滿足同樣的齊次線性方程。對此方程，可利用傅立葉穩定性分析法，分析誤差隨時間發展是增大還是衰減來判斷差分方程的穩定性，放大因子被定義為該齊次線性方程的相鄰兩個時間層上解的傅立葉變換量的比值：

對於差分方程組情況，從差分方程組和傳里葉變換可以得到 ，這裡 G 就稱為放大矩陣。

局部放大矩陣

[local amplification matrix]

局部放大矩陣是差分運算元在波數域的對應表示，指對於係數僅依賴於空間變數 x 的發展方程的一種差分近似。例如，考慮對稱雙曲型方程組的差分近似，令，而是帶有矩陣係數的位移運算元的有限和，即

式中是埃爾米特矩陣，則局部放大矩陣定義為，式中，k為波數向量。