基本介紹
- 中文名：矩陣變換
- 外文名：Matrix transformation
- 所屬學科：線性代數
- 套用範圍：工程數學、考研
- 理論基礎：高斯消元法
結論,矩陣等價,矩陣變換套用,
結論
容易看出，這三種初等變換都不會改變一個方陣A的行列式的非零性，所以如果一個矩陣是方陣，我們可以通過看初等變換後的矩陣是否可逆，來判斷原矩陣是否可逆。可以看出，矩陣的3種初等變換都是可逆的，且其逆變換也是同一種類型的初等變換。
矩陣等價
若矩陣A經過有限次的初等行變換變為矩陣B，則矩陣A與矩陣B行等價；若矩陣A經過有限次的初等列變換變為矩陣B，則矩陣A與矩陣B列等價；若矩陣A經過有限次的初等變換變為矩陣B，則矩陣A與矩陣B等價。
矩陣等價性質：
（1）反身性 A~A;
（2）對稱性 若A~B，則B~A；
（3）傳遞性 若A~B，B~C，則A~C
初等矩陣性質：
1、設A是一個m×n矩陣，對A施行一次初等行變換，其結果等價於在A的左邊乘以相應的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，其結果等價於在A的右邊乘以相應的n階初等矩陣。反之亦然。
2、方陣A可逆的充分必要條件是存在有限個初等矩陣P1，P2，......Pn，使得P1P2...Pn.
3、m×n矩陣A與B等價若且唯若存在m階可逆矩陣P與n階可逆矩陣Q使得B=PAQ。
矩陣變換套用
1、分塊矩陣
矩陣的分塊是處理階數較高矩陣時常用的方法,用一些貫穿於矩陣的縱線和橫線將矩陣分成若干子塊，使得階數較高的矩陣化為階數較低的分塊矩陣，在運算中,我們有時把這些子塊當作數一樣來處理,從而簡化了表示，便於計算。 分塊矩陣有相應的加法、乘法、數乘、轉置等運算的定義，也可進行初等變換。 分塊矩陣的初等變換是線性代數中重要而基本的運算，它在研究矩陣的行列式、特徵值、秩等各種性質及求矩陣的逆、解線性代數方程組中有著廣泛的套用。
2、求演化矩陣
已知矩陣A 相似於矩陣B，藉助初等變換的方法，可以構造性的獲得演化矩陣P。即找到具體的可逆矩陣P，使B = P^(-1)AP，由B =P^(-1)AP，可得AP =PB，將P 的元素設為未知量，由矩陣的乘法及兩矩陣相等可得一齊次線性方程組，由方程組的一個非零解即可得到一個要求的演化矩陣P。
