基本介紹
- 中文名:初等矩陣
- 外文名:Elementary matrix
- 所屬學科:線性代數
- 相關名詞:單位矩陣
- 套用領域:數學
- 別稱:基本矩陣
概念,性質,套用,
概念
初等變換有三種
(1)交換矩陣中某兩行(列)的位置;
(2)用一個非零常數k乘以矩陣的某一行(列);
(3)將矩陣的某一行(列)乘以常數k後加到另一行(列)上去。
三類初等矩陣都是可逆矩陣,即非奇異陣。
三類初等矩陣行列式的值是:
(1):-1
(2):k
(3):1
性質
說明:任意矩陣
的交換i,j行(列),取決於
是左乘
,還是右乘
,即:
*
是交換行i,j變換,
*
是交換列i,j變換。
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說明:任意矩陣
的行(列)乘以常數k,取決於
是左乘
,還是右乘
,即 :
*
是矩陣
行乘以常數k變換,
*
是矩陣
列乘以常數k變換。
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![](/img/a/689/01a438beb63b8b28b64612418f2d.jpg)
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3、將單位矩陣的第i行的k倍加到第j行得到初等方陣
,矩陣
的第i行的k倍加到第j行得到矩陣
,即有
=
*
;將單位矩陣的第j列的k倍加到第i列得到初等方陣
,矩陣
的第j列的k倍加到第i列得到矩陣
,即有
=
*
。
![](/img/0/f4b/8c6d34e2c0545a90df716bc6dd5f.jpg)
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說明:任意矩陣
與初等矩陣相乘,表示對A進行初等變換,但對A進行的是行初等變換還是列變換,取決於初等矩陣
是左乘
,還是右乘
,即:
*
是行初等變換,此時
的變換表示將
的第i行的k倍加到第j行(順序從前向後);
*
是列初等變換,此時
的變換表示將
的第j列的k倍加到第i列(順序從後向前)。
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![](/img/2/f9d/70ac968ca01058eebe4654ad9fe3.jpg)
套用
(1)在解線性方程組中的套用
(2)用於求解一個矩陣的逆矩陣
有的時候,當矩陣的階數比較高的時候,使用其行列式的值和伴隨矩陣求解其逆矩陣會產生較大的計算量。這時,通常使用將原矩陣和相同行數(也等於列數)的單位矩陣並排,再使用初等變換的方法將這個並排矩陣的左邊化為單位矩陣,這時,右邊的矩陣即為原矩陣的逆矩陣。