初等λ矩陣

基本介紹

初等λ矩陣(elementary λ-matrices)是一類簡單的λ矩陣。指三種形狀簡單且經常使用的λ矩陣，數域P上的n階λ矩陣中，下列的三種矩陣稱為初等λ矩陣：

1.P(j(d))=E+(d-1)E_jj，d∈P，且d≠0 (j=1，2，…，n)；

2.P(i，j(b(λ)))=E+b(λ)E_ij(i，j=1，2，…，n，且i≠j)；

3.P(i，j)=E-E_ii-E_jj+E_ij+E_ji(i，j=1，2，…，n，且i≠j)，

其中E為n階單位矩陣，E_ij是矩陣單位，b(λ)是λ的多項式。初等λ矩陣都是可逆的，且

P(i(d))^-1=P(i(d^-1))，

P(i，j(b(λ)))^-1=P(i，j(-b(λ)))，

P(i，j)^-1=P(i，j)。

定理矩陣A(λ)是可逆的充分必要條件是它可以表成一些初等矩陣的乘積。

推論兩個s×n的λ-矩陣A(λ)與B(λ)等價的充分必要條件為，有一個s×s可逆矩陣P(λ)與一個n×n可逆矩陣Q(λ)，使B(λ)=P(λ)A(λ)Q(λ)。

λ矩陣的初等變換是與初等λ矩陣密切相關的λ矩陣的三種變換的統稱，下列的三種變換稱為數域P上的λ矩陣的初等變換：

1.用數域P中非零數d乘矩陣的第j行(列)；

2.把矩陣的第j行(列)的b(λ)倍加到第i行(列)；

3.互換矩陣的第i行(列)與第j行(列)。

設A(λ)是數域P上的m×n的λ矩陣，對A(λ)的行(列)施行變換1，相當於用m(n)階初等矩陣P(j(d))左(右)乘A(λ)；施行變換2，相當於用m(n)階初等矩陣P(i，j(b(λ)))左(右)乘A(λ)；施行變換3，相當於用m(n)階初等矩陣P(i，j)左(右)乘A(λ)。

說明：

1. λ-矩陣的初等變換與數字矩陣的初等變換的差別:前兩類變換是一樣的,但第三類初等變換是將某一行(列)的φ(λ)倍加到另一行(列)上，不再是一個常數倍。

第二類變換之所以仍然是乘以非零的常數c，而不是乘以一個非零的多項式，是為了使初等變換能夠可逆。

2.與數字矩陣一樣,把單位矩陣E經過一次初等變換得到的λ-矩陣稱為λ-初等矩陣；並且，λ-初等矩陣都是可逆的。

3.對一個s×n的λ-矩陣A(λ)作一次初等行變換就相當於對A(λ)左乘一個相應的s×s初等矩陣；對A(λ)作一次初等列變換就相當於對A(λ)右乘一個相應的n×n初等矩陣。