多項式矩陣

多項式矩陣即元為多項式的矩陣。

基本介紹

• 中文名：多項式矩陣
• 外文名：Polynomial matrix
• 類型：計算機科學
• 學科：跨學科
• 性質：矩陣
• 概念：元為多項式的矩陣

介紹

多項式矩陣即元為多項式的矩陣。 為 矩陣，或多項式矩陣，其中 是 的多項式。多項式矩陣，也稱為λ-矩陣、矩陣係數多項式（不是矩陣多項式），是數學中矩陣論里的概念，指係數是多項式的方塊矩陣。使用“λ－矩陣”的名稱時，說明係數多項式以λ為不定元。

若n階多項式矩陣 的行列式 （非零多項式），則稱 是滿秩的（秩=n）或非奇異的。

若使 ，則稱 是可逆的，或稱 是單模矩陣，記為 。

多項式矩陣

運算註解

多項式矩陣的加法、數乘、及乘法與一般矩陣的運算規則一樣，只是在運算過程中將式的運算換成多項式的運算即可。

多項式矩陣也像數字矩陣那樣定義行列式，並且多項式矩陣行列式的性質與數字矩陣行列式的性質相同。

初等變換

①互換的任意兩行（列）

②以非零數c乘以矩陣的一行（列）

③矩陣的某一行（列）乘以多項式 )後某一行加到另一行（列）

多項式矩陣的秩

如果多項式矩陣 有一個r階子式不為零，而所有的r+1階子式全為零，則稱 的秩為r，零矩陣的秩規定為0。

多項式矩陣的逆矩陣

設 為n階λ-矩陣，如果存在n階λ-矩陣 ，使 = =l，則稱 可逆，並稱 為 的逆矩陣。

多項式矩陣的等價

設 、 ，如果有 經過有限次初等變換能變為 ，則稱多項式矩陣 稱為與 等價，記為 。

多項式矩陣的行列式因子

1、定義

設 矩陣的秩為r，對於正整數k， ， 中必有非零的k級子式， 中全部k級子式的首項係數為1的最大公因式 稱為 的k階行列式因子。

2、不變因子

中所有因子稱為 的不變因子組。

經過初等變換不改變多項式矩陣的秩和行列式因子，有相同的行列式因子或不變因子是 與等價的充要條件。

3、初等因子

設矩陣的不變因子為的標準分解式是

則稱的標準分解式中的一次因式的方冪為A的初等因子。A中所有的初等因子稱為A的初等因子組。由定義知，初等因子是由不變因子確定的。

多項式矩陣的標準型

1、Smith標準形

對任一非零多項式矩陣 ，都等價於下列形式的矩陣（經過矩陣的初等變換實現）：

則稱它是 的更密斯（Smith）標準形，其中是它的秩，是首項係數為1的多項式，且。其中主對角線上的非零元素稱為 的不變因子。

2、Jordan標準形

形如

的方陣稱為階Jordan塊，其中可以是實數，也可以是複數。

套用

1、矩陣理論在計算機方面的套用，如矩陣的奇異值分解的套用，QR分解在網路方面的套用，還有在三維圖形圖像方面的套用。

2、多項式矩陣理論在網路分析中的套用，基於迴路矩陣B、基本割集矩陣Q和支路伏安特矩陣，藉助多項式理論中有關解耦零點的概念和理論，研究網路的複雜度和穩定性。

3、多項式矩陣理論知識，在建立和完善線性控制系統理論過程中具有基礎作用，套用廣泛。