矩陣函式

矩陣函式的概念與通常的函式概念類似，不同在於矩陣函式的自變數和因變數都是n階矩陣。矩陣函式一般用冪級數表示。矩陣函式與矩陣值函式是矩陣理論的重要內容，它們在力學、控制理論、信號處理等學科中具有重要套用。

基本介紹

• 中文名：矩陣函式
• 外文名：matrix function
• 釋義：定義域和值域都屬於方陣的函式
• 學科：數學
• 相關概念：函式
• 套用：力學、控制理論、信號處理等學科

定義

設復變冪級數的收斂半徑是R，且在收斂域內，當矩陣A的譜半徑，定義，並稱為矩陣A的函式。

常用的矩陣函式

（1）矩陣指數函式：對於任意A ，有：

（2）正弦函式，是一種矩陣三角函式：對於任意A，有：

（3）餘弦函式，是一種矩陣三角函式：對於任意A，有：

定理

1、定理1：假設，則有：

（1）；

（2）。

注意：因為矩陣的乘法不滿足交換律， 因此矩陣函式不一定滿足一般函式的所有性質。

2、定理2：設，且AB=BA，則有：

（1）；

（2）；

（3）。

3、根據定理 2 ，很容易證得下面結論：

推論 ：設，則有：

（1）；

（2）；

（3）。

求解矩陣函式的方法

利用矩陣標準型

用矩陣標準型求矩陣函式的具體步驟如下：

（1）設方陣A相似於對角陣，即

，其中矩陣內的值是A的n個特徵值，則

（2）當A不能與對角陣相似時，則A必與Jordan標準型相似，設

最後

利用最小多項式

用最小多項式求矩陣函式的具體步驟如下：

第一步 計算矩陣A的最小多項式，確定其次數m及特徵值；

第二步 設，確定出係數；

第三步 代入可求得。