L-函式

是有算術有意義和算術背景的L-函式· 例如黎曼在研究高斯和勒讓德提出的素數定理時，引出了和素數分布有關的復變數的黎曼zeta-函式。

基本介紹

• 中文名：L-函式
• 用途：Dirichlet級數
• 發布者：羅伯特·朗蘭茲
• 編輯：黎曼猜想

函式定義

一般地, 對於數學對象, 我們可定義複數列, 形如

且具有Euler乘積的Dirichlet級數, 我們稱其為關於的-函式。

函式來源

一般地說,-函式來源由兩類組成: 算術L-函式和自守L-函式. 這兩者又是密切聯繫在一起的, 根據羅伯特·朗蘭茲的猜想, 籠統地說, 一切有意義的L-函式都來自自守L-函式.

算術L-函式

簡單地說,

同樣地，狄利克雷在研究算術級數中的素數分布時，引入了Dirichlet L-函式：

Dedekind zeta-函式: 設為一代數數域，

橢圓曲線的Haass-Weil L-函式: 設為一非奇異的橢圓曲線定義為曲線在有限域上的解, 設, 則下面的級數稱為關於曲線的Haass-Weil L-函式

阿廷L-函式: 設是一個有限維的伽羅瓦表示,其中為一代數數域,

自守L-函式

全純模形式的L-函式, Maass L-函式, 標準L-函式等等.

研究內容

根據羅伯特·朗蘭茲在國際數學家大會上的報告所指, 研究一個L-函式主要有三部分內容:

解析延拓

L-函式的解析延拓和函式方程這是最基本的一部分. 對於一般的自守L-函式這是較容易得到的, 但是對算術的L-函式這一部分並不是容易得到的. 例如, 對於Haass-Weil L-函式, 這部分就是谷山-志村猜想, 該猜想一部分就能推出費爾馬大定理. 關於阿廷L-函式的全純解析沿拓的阿廷猜想也是數論中重要的未知問題.

對於數學對象的L-函式, 我們定義其的gamma因子為

其中為復參數.

定義下面關於的完全-函式

那么, 一般地我們有函式方程

其中為模為1的複數,為關於的對偶對象.

零點的分布

非零區域: 如黎曼zeta函式的目前最好的非零區域為

黎曼猜想和廣義黎曼猜想問題:

在假設黎曼猜想下, 零點虛部的分布問題與隨機矩陣的聯繫等等.

特殊點的值

中心值, 臨界點, 整點的值, 極點的留數等. 這裡面也有很多猜想, 像BSD猜想, 類數問題, Deligne 猜想，Beilinson 猜想，Goldfeld猜想. 其實往往我們重要的不僅是關心它具體有多大，而是關心的這個量裡面隱含著什麼樣的算術意義。像Dedekind zeta 函式在s=1處的留數，裡面包含了一個數域的很多不變數：類數，判別式，regular等；BSD猜想就是Haass-Weil L-函式在中心點的的階就是該橢圓曲線的秩！

研究意義

對於一個研究對象如素數, 伽羅瓦擴張, 橢圓曲線, 代數簇等等, 我們可根據其性質構造出一個復變數的L-函式. -函式的解析性質: 零點和極點, 函式方程, 展開係數, 特殊點的值等等, 往往能夠充分反映的算術, 幾何, 或代數性質.

三個公開問題

關於L-函式的研究,有許多未解決的公開問題,在這些問題中,尤以下面三個著名.

廣義Riemann猜想

L-函式所有非平凡的零點均位於線上.

廣義Lindelof猜想

在(3.1)的函式方程中, 有猜想:

其中為任意小的正實數.

廣義Ramanujan猜想

在(3.1)的函式方程中,猜想對非分歧的有和.