L-函式是數論中神秘而特別常見的研究對象，最簡單的例子就是Rie-mann ζ函式。類似於Riemann ζ函式，一般的L-函式也存在與之相關的廣義Riemann假設、廣義Ramanujan猜想等問題。
基本介紹
- 中文名：L類函式
- 外文名：Dirichlet L-functions
定義,定理,套用,
定義
設X為Dirichlet本原特徵，定義
為Dirichlet L函式．
因為
，故可由此定義完全DirichletL函式
其中
定理
定理一 設X≠1(即為非平凡特徵)，則L(s,X)在區域Re(s)>0收斂，且在其緊集中一致收斂．而當Re(s)>1時有Euler積.
定理二設
為m級分圓域，則
其中X取滿足N(X)|m的Dirichlet本原特徵.
證明 只需證明
時的情況，此時
因此，只需證明
對任意素數均成立.
設
則p在K中的素分解為
f是使
的最小正整數，
,故有
而滿足
的X的全體即為Gm'。當X過Gm'時，X(p)過f次單位根乘群W共
.故可得
從而定理得證.
套用
作為千禧難題之一的黎曼猜想，長期以來備受許多數學工作者們的關注。1989年，Selberg為了研究L-函式的線性組合的值分布，以Riemann zeta函式為原型，定義了一類Dirichlet級數，其滿足歐拉乘積，解析延拓，Riemann-型函式方程，且提出了關於這一類函式的幾個基本猜想。引人興趣的是，Selberg指出這些猜想緊密聯繫著數論中的某些相關的經典猜想。從此而後,這一類所謂的Selberg類L-函式成為了複分析理論中的另一個非常熱門的研究課題，也是現代解析數論中的重要研究對象，但是對於這一類函式的理解尚未達到一個完整的框架。Selberg猜測，黎曼假設對所有Selberg類中的函式L成立。由黎曼猜想衍生出來的一類重要問題是關於簡單零點在全部非平凡零點中所占比例的估計。.數學家們曾普遍猜測，函式L的所有零點都是簡單零點，我們稱之為簡單零點假設，但此命題迄今尚未得到證明。不過，與黎曼猜想類似，簡單零點假設也得到了許多數值及解析結果的支持。Steuding給出過關於廣義Selberg類L-函式c值點的漸進公式，並將其套用到Nevanlinna值分布理論上.此方向引起了許多學者的興趣，對此進行了深入研究，成功地將兩個交叉學科融合在一起。另外，扈和李等人利用Riemann zeta函式在臨界直線上的零點構造了一個整函式，並利用此函式將黎曼猜想轉換成亞純函式問題。
以Nevanlinna值分布理論為主要研究工具，討論廣義Selberg類L-函式的零點分布問題。研究了 Dirichlet L-函式的單零點分布問題。藉助值分布理論，結合函式論中的abc猜想定理，給出關於模k的一族Dirichlet L-函式的判別零點估計式。此外，證明對任意有窮複數a，L-a的單零點在其全部零點中所占的比例是個正值，至多除掉兩個例外值，並且給出此比例值的下確界。還有討論廣義Selberg類L-函式的導函式L(k)(s))的零點分布問題等。根據L(k)(s)左右兩側的非零區域，並進一步給出L(k)(s)的零點估計式。研究廣義Selberg類L-函式與亞純函式具有分擔值的問題等。
