對角陣

只有對角線上有非0元素的矩陣稱為對角矩陣，或說若一個方陣除了主對角線上的元素外，其餘元素都等於零，則稱之為對角陣。

基本介紹

• 中文名：對角陣
• 外文名：diagonal matrix
• 所屬學科：數學
• 相關概念：矩陣、方陣、線性變換等

定義

只有對角線上有非0元素的矩陣稱為對角矩陣，或說若一個方陣除了主對角線上的元素外，其餘元素都等於零，則稱之為對角陣，其形狀為

簡記為 。

對角線上的元素相等的對角矩陣稱為數量矩陣，對角線上的元素都為1的n階對角（矩）陣稱為單位（矩）陣，記作 ：

主對角線以下元素都為零的方陣，稱為上三角陣，即

主對角線上方元素都為零的方陣，稱為下三角陣。

可見，對角陣既是上三角陣，又是下三角陣。

矩陣的對角線有許多性質，如做轉置運算時對角線元素不變、相似變換時對角線的和(稱為矩陣的跡)不變等。在研究矩陣時，很多時候需要將矩陣的對角線上的元素提取出來形成一個列向量，而有時又需要用一個向量構造一個對角陣。

分類

通常把對角陣分為正對角陣和反對角陣。

正對角陣，例如：

反對角陣，例如：

分塊對角陣

設A為n階方陣，若A的分塊矩陣只有在主對角線上有非零子塊，其餘子塊都為零矩陣，且非零子塊都是方陣，即

其中 都是方陣，則稱A為分塊對角陣。

如何對給定的矩陣進行分塊，完全取決於矩陣中元的形式，如果能將矩陣分成分塊對角陣，則對矩陣的各種運算必將帶來很大的便利，同時加快可以用逆陣求解的線性方程組的解決速度。

線性變換套用

1. 設 是數域P上n維線性空間V的一個線性變換，則有以下結論：

1) 在某組基下的矩陣為對角陣的充要條件是 有n個線性無關的特徵向量；

2) 屬於不同特徵值的特徵向量線性無關。

由此可得，如果 有n個互不相同的特徵值，則 在某組基下矩陣為對角陣。

特別地，複數域上的線性空間中，如果其線性變換 的特徵多項式沒有重根，則 在某組基下矩陣為對角陣。

3)如果 是 的不同特徵值，而 是線性變換 屬於特徵值 的線性無關的特徵向量， ，那么向量組 也線性無關。

由此可得，若 是線性變換 的全部互異特徵值，則有

是直和，所以 在某基下矩陣為對角陣的充要條件是

此時，將 各取一組基，再合起來，即 的n個線性無關的特徵向量構成的基。

4)由3)可得， 在某組基下矩陣為對角陣的充要條件是 的特徵多項式(即 在任一基下矩陣的特徵多項式)的根均屬於P，且各特徵值的幾何重數等於代數重數。

n階矩陣A與對角陣相似問題

1)如果A有n個線性無關的特徵向量，則A與對角陣相似。

2)設 是矩陣A的所有互異特徵值，如齊次線性方程組 的解空間維數 等於 作為特徵值的重數 ，則A與對角陣相似。

3)設 是矩陣A的n個線性無關的特徵向量，相應特徵值為 (可以有相同特徵值)，取 ，則有

矩陣的最小多項式與矩陣相似對角化問題

1)設 ，如果多項式 使 ，則稱 以A為根，也稱 為A的化零多項式。

根據哈密爾頓一凱萊定理，任意數域P上一個n階方陣A，其特徵多項式 是A的化零多項式，這一點保證了化零多項式的存在性。

稱以A為根的次數最低且首項係數為1的多項式為A的最小多項式，A的最小多項式一般記為 。

2)任一矩陣A的最小多項式都是唯一的，且最小多項式整除A的任一化零多項式。

特別地，A的最小多項式整除A的特徵多項式．此說明A的最小多項式的根都是A的特徵根。

3)A的任一特徵根都是最小多項式的根。

說明： 由2)、3)知，在不考慮重數的情況下，矩陣A的特徵多項式 與最小多項式 的根完全一致。

矩陣最小多項式求法

方法1 按如下步驟進行：

步1：求解A=a₀E，若有解a₀，則λ-a₀是A的最小多項式，否則，轉步2；

步2：求解A²=a₀E+a₁A，若有解，則λ²-a₁λ-a₀是A的最小多項式，否則轉步3；

步3：求解A³=a₀E+a₁A+a₂A²，…。

以此類推。

方法2 先求出A的特徵多項式 ，分解因式，再藉助A的最小多項式 ，通過分析 的因子，找出首一的次數最低的A的化零多項式，此即為 。

方法3 A的最小多項式是 的最後一個不變因子，據此，可利用化 為標準形的方法以求出 ，此即為A的最小多項式。

注: 對準對角陣 A的最小多項式是A₁，A₂的最小多項式 的最低公倍式

[ ]。

5)數域P上n階矩陣A相似於對角陣的充要條件是A的最小多項式是P上互素的一次因式之積。

特別地，複數域上矩陣A與對角陣相似的充要條件A的最小多項式無重根。(例如，若 ，m是正整數，則A與對角陣相似，請讀者思考為什麼?)

6)矩陣A是數量矩陣的充要條件是其最小多項式為一次多項式。

注: 兩個矩陣相似，它們有相同的最小多項式，反之不真。