黑塞矩陣

黑塞矩陣（Hessian Matrix），又譯作海森矩陣、海瑟矩陣、海塞矩陣等，是一個多元函式的二階偏導數構成的方陣，描述了函式的局部曲率。黑塞矩陣最早於19世紀由德國數學家Ludwig Otto Hesse提出，並以其名字命名。黑塞矩陣常用於牛頓法解決最佳化問題，利用黑塞矩陣可判定多元函式的極值問題。在工程實際問題的最佳化設計中，所列的目標函式往往很複雜，為了使問題簡化，常常將目標函式在某點鄰域展開成泰勒多項式來逼近原函式，此時函式在某點泰勒展開式的矩陣形式中會涉及到黑塞矩陣。

基本介紹

• 中文名：黑塞矩陣
• 外文名：Hessian Matrix
• 別名：海森矩陣，二階導數矩陣
• 提出時間：19世紀
• 提出者：德國數學家Ludwig Otto Hesse
• 特點：黑塞矩陣為對稱陣
• 套用學科：線性代數、運籌學

定義

在工程實際問題的最佳化設計中，所列的目標函式往往很複雜，為了使問題簡化，常常將目標函式在某點鄰域展開成泰勒多項式來逼近原函式。

二元函式的黑塞矩陣

由高等數學知識可知，若一元函式 在 點的某個鄰域內具有任意階導數，則 在 點處的泰勒展開式為： ，其中 ， 。

二元函式 在 點處的泰勒展開式為：

其中， 。

將上述展開式寫成矩陣形式，則有：

即：

其中：

是 在 點處的黑塞矩陣。它是由函式 在 點處的二階偏導數所組成的方陣。

多元函式的黑塞矩陣

將二元函式的泰勒展開式推廣到多元函式，則 在 點處的泰勒展開式的矩陣形式為：

其中：

（1） ，它是 在 點處的梯度。

（2） 為函式 在 點處的黑塞矩陣。

黑塞矩陣是由目標函式 在點X處的二階偏導數組成的 階對稱矩陣。

對稱性

如果函式 在 區域內二階連續可導，那么 黑塞矩陣 在 內為對稱矩陣。

原因：如果函式 的二階偏導數連續，則二階偏導數的求導順序沒有區別，即

則對於矩陣 ，有 ，所以 為對稱矩陣。

利用黑塞矩陣判定多元函式的極值

定理

設n多元實函式 在點 的鄰域內有二階連續偏導，若有：

並且

則有如下結果：

（1）當A正定矩陣時， 在 處是極小值；

（2）當A負定矩陣時， 在 處是極大值；

（3）當A不定矩陣時， 不是極值點。

（4）當A為半正定矩陣或半負定矩陣時， 是“可疑”極值點，尚需要利用其他方法來判定。

實例

求三元函式的極值。

解：因為，故該三元函式的駐點是。

又因為，

故有：

因為A是正定矩陣，故是極小值點，且極小值。