曲率

曲線的曲率（curvature）就是針對曲線上某個點的切線方向角對弧長的轉動率，通過微分來定義，表明曲線偏離直線的程度。數學上表明曲線在某一點的彎曲程度的數值。

曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大。曲率的倒數就是曲率半徑。

基本介紹

• 中文名：曲率
• 外文名：curvature
• 全稱：曲線的曲率
• 解釋：曲線某點切線方向對弧長的轉動率
• 曲率表明：曲線偏離直線的程度
• 性質：曲率越大，曲線的彎曲程度越大
• 曲率倒數：曲率半徑

定義

弧 的切線轉角 與該弧長 之比的絕對值稱作該弧的平均曲率，記作

當 沿曲線L趨向於M時，若弧 的平均曲率的極限存在，則稱此極限為曲線L在點M處的曲率，記作K，即或。

計算公式

設曲線的直接坐標方程為y=f（x），且y=f（x）具有二階導數，曲線在點M處的切線的斜率為 ,所以

又 ,故曲線L在M點處的曲率為

設曲線是由參數方程 給出，利用參數方程求導法可得

曲率圓與曲率半徑

曲線上點M處的曲率的倒數，稱作曲線在這點處的曲率半徑，記作 ,則

在點M處曲線的法線的某一側上取一點D，使 ，並以D為圓心，以 為半徑作圓。把這個圓稱作曲線在點M處的曲率圓，把圓心D稱做曲線在M處的曲率中心。

曲率圓具有以下性質：

（1）曲率圓與曲線在點M處有共同的切線和曲率；

（2）在點M鄰近與曲線有相同的凹向；

因此，在實際工程設計問題中，常用曲率圓在點M鄰近的一段圓弧來近似代替曲線弧，以使問題簡化。

意義

曲率是幾何體不平坦程度的一種衡量。平坦對不同的幾何體有不同的意義。

本文考慮基本的情況，歐幾里得空間中的曲線和曲面的曲率。一般意義下的曲率，請參照曲率張量。

在動力學中，一般的，一個物體相對於另一個物體做變速運動時也會產生曲率。這是關於時空扭曲造成的。結合廣義相對論的等效原理，變速運動的物體可以看成處於引力場當中，因而產生曲率。

按照廣義相對論的解釋，在引力場中，時空的性質是由物體的“質量”分布決定的，物體“質量”的分布狀況使時空性質變得不均勻，引起了時空的彎曲。因為一個物體有質量就會對時空造成彎曲，而你可以認為有了速度，有質量的物體變得更重了，時空彎曲的曲率就更大了。

在物理中，曲率通常通過法向加速度（向心加速度）來求，具體請參見法向加速度。