向心加速度

質點作曲線運動時，指向圓心（曲率中心）的加速度，與曲線切線方向垂直，也叫做法向加速度。向心加速度是反映圓周運動速度方向變化快慢的物理量。向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小。

基本介紹

• 中文名：向心加速度
• 外文名：centripetal acceleration
• 套用領域：經典力學
• 屬性：可能是實際加速度或分加速度
• 適用情況：圓周運動

公式

上式中， 表示向心加速度， 表示向心力， 表示物體質量， 表示物體圓周運動的線速度（切向速度）， 表示物體圓周運動的角速度， 表示物體圓周運動的周期， 表示物體圓周運動的頻率， 表示物體圓周運動的半徑。（ =2π/T）
由牛頓第二定律，力的作用會使物體產生一個加速度。合外力提供向心力，向心力產生的加速度就是向心加速度。可能是實際加速度，也可能是物體實際加速度的一個分加速度。

方向

方向始終與運動方向垂直，方向時刻改變且指向圓心（曲率中心），不論加速度 的大小是否變化， 的方向是時刻改變的，所以圓周運動一定是變加速運動。可理解為做圓周運動物體加速度在指向圓心（曲率中心）方向上的分量。

向心加速度是矢量，並且它的方向無時無刻不在改變且指向圓心（曲率中心）。

所有做曲線運動的物體都有向心加速度，向心加速度反映的是圓周運動在半徑方向上的速度方向(即徑向即時速度方向·)改變的快慢。

向心加速度又叫法向加速度，意思是指向曲線的法線方向的加速度。

當物體的速度大小也發生變化時，還有沿軌跡切線方向也有加速度，叫做切向加速度。

向心加速度的方向始終與速度方向垂直，也就是說線速度始終沿曲線切線方向。

思維誤區

①誤認為勻速圓周運動的向心加速度恆定不變。實際上，是變速運動。因為合力方向時刻指向圓心，加速度是時刻變化的。

②據公式 ，誤認為 與 成正比，與半徑 成反比。事實上，只有在半徑 確定時才能判斷 與 或 與 的關係。

③向心加速度的公式也適用於非勻速圓周運動，且無論是勻速圓周運動還是非勻速圓周運動，向心加速的的方向都指向圓心。

問題解析

通過下面兩個問題的探討和解析，可進一步鞏固和深化學生對勻速圓周運動的認識和理解。

1．向心加速度表征什麼意義？

要弄清這個問題，首先要明確矢量三角形中△v的物理意義(圖4)

它只表 示速度方向的改變，而不表示速度大小的改變，故而向心加速度所表征的僅僅是速度方向變化的快慢。

2．做勻速圓周運動的物體是否“落”向圓心？

這個問題寓知識於趣味之中，很值得提出來與學生一起探討，如圖5所示，若物體在a點不再具有加速度aa，則物體必將沿ae方向飛出，經t秒後到達e點，而如今物體卻“落”到b點上，即離開了ae一段距離eb．當時間t取得足夠短時，b點和a點非常接近，且以a點為極限，則可認為ab弧和ab弦互相重合，eb和ad互相重合，且有ab弦=vt，eb=ad．因rt△abc∽rt△adb，則ad/ab=ab/ac，即

由此可見，物體確是時時“落”向圓心，只不過並不能真的到達圓心而已。顯然，這是向心加速度導致的結果。

向心加速度公式證明方法（2）並附圖

如圖甲，一質點繞O點做勻速圓周運動，A點到B點的切線，即線速度V_a和V_b，其大小相等。則向心加速度a就是由V_b到V_a線速度的單位變化矢量。方法：如圖乙，平移矢量V_a，使其起點與B點重合，則矢量△V=矢量V_b－矢量V_a（即轉過某一弧度時線速度的改變數），設矢量V_a與V_b的夾角θ就是質點做勻速圓周運動所轉過的角（用弧度制表示）。

證明方法(2)的圖片

又如圖丁（圓O的一部分，即扇形，OQ=OP=r，同時有弦PQ和弧PQ），設θ為OQ與OP夾角的弧度數（其實是數學上這個角對應的弧長與圓半徑的比值，即弧PQ ：半徑r的值，如一弧度≈57.3°）那么我們知道 X·Y/X=Y，則弧PQ的長度可以表示為“半徑r·弧PQ/半徑r”即弧長=半徑×對應弧度。 當夾角θ很小很小時，可近似認為弧PQ=弦PQ，也就是說彎曲的弧長與筆直的線段長度幾乎一樣，這就為後面的求△V提供了依據。

回到圖乙，如圖當OB,OA之間的夾角（等於V_b與V_a的夾角）很小很小時，那么對應的△V就很小很小了，並且以B為頂點，母線長為V_a（或V_b）的扇形中由A點到B點所掃過的弧△V就可近似等於弦△V，即根據圖丁作介紹的，若把圖丁中的半徑r看做線速度V_a（或V_b），弧長=半徑×對應弧度（也就是先前的V=ω·r）用在圖乙中就是弧△V=△V=線速度（視為半徑r）×弧度θ（弧△V與可視為圓半徑r的線速度Va或Vb的比值）

而當△V這個量小到單位時（即一秒鐘內△V的量），那么這個△V就是我們所說的向心加速度a，向心加速度a=△V/△t，而弧△V=弦△V，所以向心加速度a=弧△V/△t。

首先弧度θ是質點經過某一時間（△t）做圓周運動所轉過的角度的弧度數，則角速度ω=θ/△t，表示一秒鐘內轉過的弧度數，即弧度θ=ω·△t，①並且△V=弧△V=向心加速度a×△t。②

再根據弧長=半徑×對應弧度，弧△V=△V=線速度V×弧度θ（如圖丙，當θ小到一定程度時，弧△V=△V，小到單位弧度時就存在這樣的關係）再根據①②兩式，得出向心加速度a×△t=線速度V（這個矢量的大小始終不變）×角速度ω·△t，同時除去等式左右的△t，於是最終化簡為：

向心加速度a=角速度ω×線速度V，即a(n)=ω·V，還有a(n)=ω2·r，a(n)=V^2/r等等 都是根據此式以及V=ω·r推理出來的。