基本介紹
- 中文名：極大值
- 外文名：maximum
- 學科：數學
- 屬性：局部性概念
- 相關概念：極小值、極值、極值點
- 求法：一階導數、二階導數判別法等
定義,數值區別,注意,求極大值,
定義
一般的，設函式f(x)在點x0附近有定義，
圖1
圖1（1）如果對x0附近的所有點，都有f(x)<f(x0)，則f(x0)是函式f(x)的一個極大值，如圖1所示；
（2）如果對x0附近的所有點，都有f(x)>f(x0)，則f(x0)是函式f(x)的一個極小值，如圖2所示；
（3）函式的極大值與極小值統稱為極值。(極值即波峰波谷處的值——不一定是最大值或最小值)
（4）使得函式取得極值的點x0稱為極值點。使得函式取得極大值的點x0稱為極大值點；使得函式取得極小值的點x0稱為極小值點。
圖2
圖2數值區別
極大值和最大值的區別
- 最大值是函式中最大的值，而極大值不是。
- 最大值一定高於函式中其他的值，極大值可以小於極小值。
- 最大值的值只有一個，而極大值的值可以有無限個。
- 最大值的定義區間為函式定義域，極大值可以自定義區間。
注意
需要注意以下幾點：
（1）極大值、極小值是一個局部概念。由定義，極大值、極小值只是某個點的函式值與它附近點的函式值比較是最大或最小，並不意味著它在函式的整個的定義域內最大或最小，因此，極大值、極小值不同於最大值、最小值。
（2）函式的極值不是唯一的，即一個函式在某區間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個。
（3）極大值與極小值之間無確定的大小關係，即一個函式的極大值未必大於極小值，極小值也未必小於極大值。
（4）函式的極值點一定出現在區間的內部，區間的端點不能成為極值點，而使函式取得最大值、最小值的點可能在區間的內部，也可能在區間的端點。
求極大值
對於單變數函式，有如下求極大值的方法。
對於連續可導的函式
（1）一階導數判別法：
對於可導函式f(x)，判別f(x)是否有極大值的步驟如下：
1）求導數 f′(x)；
2）求 f(x)的駐點，即求 f′(x)=0 的根；
3）檢查 f′(x)在駐點左右的符號，如果在駐點左側附近為正，右側附近為負，那么函式y=f(x)有極大值，且在這個駐點處取得極大值；否則，函式f(x)無極大值。
（2）二階導數判別法（函式二階可導）
已知f(x)在x0的某鄰域上一階可導，在x0處二階可導，且f'(X0)=0，f"(x0)≠0，那么：
1）若f"（x0）<0，則f在x0取得極大值；
2）若f"（x0）>0，則f在x0取得極小值。
對於不連續函式
