基本介紹
- 中文名：求極大值與極小值的方法
- 外文名：Methodus ad disquirendam maximam et minimam
- 領域：數學
- 作者：費馬
- 意義：17世紀西方數學著作
- 套用：求曲線切線、確定幾何形的重心
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起源
費馬的求極值的方法跟他的坐標幾何思想一樣，也是起源於將韋達(Viete，F.)的代數套用於帕普斯(Pappus，(A))的著作《數學彙編》中的一個問題的研究.帕普斯曾嘗試將一已知線段分成數份，使部分線段所成矩形相互成最小比。在對這一問題的代數分析中，費馬意識到可以將其與二次方程聯繫起來。他認為這意味著方程的常數項只能使方程只有單一的重根的特殊值。如對於由極值問題導致的二次方程，基於它有兩相異根x、y的假定，費馬得到
和
，因而有b=x+y，c=xy。費馬然後考慮了一個重根，即x=y的情形，他發現：
如此便求得問題的正確解，費馬認為他的方法是完全普遍的。
內容
在《求極大值與極小值的方法》中，費馬將假定的兩個相異根記為A和A+E(即x和x+y)，其中E表示根之間的差。例如求表達式
的極大值，費馬如下進行：令
，由假定：
因而：
用y除上式得方程：
這一關係對形如
的任意方程都成立。但當
是極大值時方程有一個重根，即x=x+y或y=0，所以：
費馬的方法適用於任意多項式p(x)。為了運用韋達的方程理論確定多項式的係數之一與根的關係，他故意假定了兩相等根的不等性，當費馬使兩個根相等時，這一關係就導致了一個極值解。費馬稱其令兩根相等之前的方程為“準等式”。
套用
費馬的《求極大值與極小值的方法》有兩個重要的套用，第一個是求曲線切線，第二個是確定幾何形的重心.費馬實際上是利用了一個無窮小增量，這種方法應以極限理論為基礎，但費馬並沒有嚴格的極限工具。
1638年春，費馬的求極大、極小方法和求切線法引起了費馬與笛卡兒(Descartes，R.)之間一場關於優先權的爭論。但跟坐標幾何的情形一樣，他們很快便認識到了對方各自的獨創性。1642年，費馬的方法發表後，許多數學家很快便得到了他們各自更一般的方法.不久，費馬關於極大、極小值的方法就被牛頓(Newton，I.)和萊布尼茨(Leibniz，G.W.)的微積分所取代。
費馬
皮耶·德·費馬（Pierre de Fermat）是一個17世紀的法國律師，也是一位業餘數學家。之所以稱業餘，是由於皮耶·德·費馬具有律師的全職工作。根據法文實際發音並參考英文發音，他的姓氏也常譯為“費爾瑪”（注意“瑪”字）。費馬最後定理在中國習慣稱為費馬大定理，西方數學界原名“最後”的意思是：其它猜想都證實了，這是最後一個。著名的數學史學家貝爾（E. T. Bell）在20世紀初所撰寫的著作中，稱皮耶·德·費馬為”業餘數學家之王“。貝爾深信，費馬比皮耶·德·費馬同時代的大多數專業數學家更有成就。17世紀是傑出數學家活躍的世紀，而貝爾認為費馬是17世紀數學家中最多產的明星。
