極小化極大

極小化極大（Minimax）， 是一類重要的數學規劃問題，指在找出失敗的最大可能性中的最小值。極小化極大問題，雖然目標函式有時可微，但其極大值函式通常不可微，因而極小化極大問題是不可微最佳化問題。從模型角度，極小化極大問題可以分為離散極小化極大問題和連續的極小化極大問題。

基本介紹

• 中文名：極小化極大
• 外文名：Minimax
• 學科：數理科學
• 領域：規劃問題

概述

極小化極大問題的定量研究起源於上個世紀的七十年代，主要研究其解的存在性及求解方法。極小化極大問題是一類非常重要的數學規劃問題，其求精確求解非常重要，通常通過各式各樣的疊代算法。在工程設計、決策理論、自動控制、經濟管理、統計學、哲學等領域都有著十分廣泛的套用。

概念

極小化極大問題歸結如下：

是n維實數空間，其中 是 的一個閉凸子集， 是 的一個有界閉子集，求解 ，如果 是線性的，則丄式就是極小化極大問題。如果 ,則上式表示有約束的極小化極大問題。

目標函式對於極小化極大問題，雖然目標函式有時是可微的，但其極大值函式通常不可微。因而極小化極大問題是不可微最佳化問題。

分類

從模型角度，極小化極大問題可以分為兩類：

離散的極小化極大問題

離散的極小化極大問題表示為：

其中， 為目標函式， 成為極大值函式。

連續的極小化極大問題

連續的極小化極大問題表示為：

對於以上兩類問題，又可各自分為有約束的極小化極大問題和無約束的極小化極大問題。

求解方法

對於極小化極大問題，主要有三種基本思路。

（1）找出極值集合 ,使得

要求解 使得極大值函式最小，必須要先找出使得目標函式極大的極值集合 ,繼而就可以在 求得極大值函式的極小值。

（2）求極大值函式 的最小：

要求解極小化極大問題，可以通過缺點極大值函式，研究極大值函式的性質求得其最小值點。

（3）找打一個鞍點 ，使得：

即通過求解鞍點來求解極小化極大值最佳化問題。