全局極小點

全局極小點(global minimum point)是在可行域X⊂Rⁿ上使目標函式f(x)達到極小值的點，即：

1.設f是定義在開凸集X⊂Rⁿ上的連續擬凸函式，且在x*∈X處可微，▽f(x*)^T=0，則x*是f(x)在X上的全局極小點的充分必要條件是：對任意的x∈X，恆有▽f(x*)^T(x-x*)≥0；

2.設f是開凸集X⊂Rⁿ上的偽凸函式，又設對某個點x*∈X有▽f(x*)=0，則x*是f(x)在X上的全局極小點；

3.設f是凸集X⊂Rⁿ上的嚴格擬凸函式，x*∈X是f(x)在X上的局部極小點，則x*必為f(x)在X上的全局極小點；

4.設f是凸集X上的擬凸函式，若x*是f(x)在X上的一個嚴格局部極小點，則x*也是f(x)在X上的嚴格全局極小點。

基本介紹

• 中文名：全局極小點
• 外文名：global minimum point
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：運籌學(非線性規劃)
• 相關概念：凸函式，極小值，目標函式等

基本介紹

定義1 若對於任意的，都有

則稱為的一個全局極小點。若上述不等式嚴格成立且，則稱為的一個嚴格全局極小點。

定義2 若對於任意的，都有

則稱為的一個局部極小點，其中為某個常數。若上述不等式嚴格成立且，則稱為的一個嚴格局部極小點。

由上述定義可知，全局極小點一定是局部極小點，反之不然．一般來說，求全局極小點是相當困難的，因此，通常只求局部極小點(在實際套用中，有時求局部極小點已滿足了問題的要求)。

全局極值

全局極值(global extreme value)是實值函式在某區域取得極小或極大的值。設X為R中的集合，f為X上的實值函式，對於，如果對所有的均滿足（），則稱為在X上的全局極小(大)點，為全局極小(大)值。若對所有的，且，均有（），則稱為在X上的嚴格全局極小(大)點，為嚴格全局極小(大)值。

凸函式的全局極小點

凸函式的極值(extreme value of convex function)是凸函式在某點鄰域(或某區域)內取得的極小值或極大值。凸函式的極值有以下性質：

1.若為定義在凸集S上的凸函式，則它的任一局部極小點就是它在S上的全局極小點，而且它的極小點形成一個凸集。

2.設為定義在凸集S上的可微凸函式，若存在點，使得對於所有的，有，則是在S上的全局極小點。

3.定義在凸集上的凸函式的駐點(梯度為0的點)，就是其全局極小點。全局極小點並不是惟一的，但若為嚴格凸函式，則其全局極小點是惟一的。