極大函式

極大函式,又稱哈代-李特爾伍德極大函式。極大函式的研究對分析數學的發展起了很大作用,近年來又有許多推廣,並套用到數學的其他分支中去。

基本介紹

  • 中文名:極大函式
  • 外文名:polar function
  • 別稱:哈代-李特爾伍德極大函式
  • 提出者G.H.哈代、J.E.李特爾伍德
  • 套用學科:數學
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又稱哈代-李特爾伍德極大函式,由已知函式經一定運算(取平均)後取極大值所定義的函式,是由英國數學家G.H.哈代、J.E.李特爾伍德於20世紀30年代研究傅立葉級數時引進的。極大函式運算元M是指將函式?映為它的極大函式M?的運算元。設?(x)是Rn中的局部可積函式,那么稱下面的(M?)(x)為?的極大函式:
,
式中B(x,r)是以x為心、r為半徑的球,|B(x,r)|是球的體積,表示對r取上確界。可證明,極大函式(M?)(x)是幾乎處處取有限值的,只要;而且,式中A是常數,僅與p,n有關。
從極大函式的定義可知,(M?)(x)≥|?(x)|幾乎處處成立。另一方面,只要,那么仍有。這說明, 極大函式(M?)(x)雖比|?|本身要大,但又“不太大”。正是這個重要性質,使得極大函式(M?)(x)能有效地控制那些在lp上有界的運算元,最後可以通過函式本身的大小達到估計運算元的目的。
極大函式的研究對分析數學的發展起了很大作用,近年來又有許多推廣,並套用到數學的其他分支中去。

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