費馬引理

費馬（Fermat）引理是實分析中的一個定理，以皮埃爾·德·費馬命名。通過證明函式的每一個極值都是駐點（函式的導數在該點為零），該定理給出了一個求出可微函式的最大值和最小值的方法。因此，利用費馬引理，求函式的極值的問題便化為解方程的問題。需要注意的是，費馬引理僅僅給出了函式在某個點為極值的必要條件。也就是說，有些駐點可以不是極值，它們是拐點。要想知道一個駐點是不是極值，並進一步區分極大值和極小值，我們需要分析二階導數（如果它存在）。當該點的二階導數大於零時，該點為極小值點；當該點的二階導數小於零時，該點為極大值點。若二階導數為零，則無法用該法判斷，需列表判斷。

基本介紹

• 中文名：費馬引理
• 外文名：Fermat's theorem
• 別稱：Fermat引理
• 提出者：皮埃爾·德·費馬
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：微積分

陳述

函式f(x)在點ξ的某鄰域U（ξ)內有定義，並且在ξ處可導，如果對於任意的x∈U（ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f '(ξ）=0。

證明

方法1

設f(x)在ξ處極大，故不論Δx是正或負，總有

設，

則。

故由極限的保號性有

（1）

而當時，

，

故

（2）

由(1)，(2)兩式及存在知，必有

設f(x)在ξ處最小的情況同理。

方法2

我們證明其逆否命題："若, 則非極值。"

不妨設，的證明類同。

存在這樣的δ，使得當<δ時，有。

當時，。

即對任意，。

同理可證對任意，

所以非極值，得證。