極值點

若f(a)是函式f(x)的極大值或極小值，則a為函式f(x)的極值點，極大值點與極小值點統稱為極值點。極值點是函式圖像的某段子區間內上極大值或者極小值點的橫坐標。極值點出現在函式的駐點（導數為0的點）或不可導點處（導函式不存在，也可以取得極值，此時駐點不存在）

基本介紹

• 中文名：極值點
• 外文名：extreme  point
• 涉及學科：數學
• 來源於：最大最小值求解問題
• 分為：極大值點;極小值點
• 性質：局部範圍內的比較

定義

設函式在區間有定義，，若， 有 （或），則稱是函式的一個極大值（或極小值）， 是函式的一個極大值點（或極小值點）。極大值與極小值統稱為極值；極大值點與極小值點統稱為極值點。上面的不等號若嚴格成立，則稱為嚴格極值點，對應函式值稱為嚴格極值。

函式圖

注意：

（1）極值點只關心在 內的局部函式值，不關心是否可導。因此函式在極值點處可能不可導，如 在 處不可導。

（2）極值點是函式圖像的某段子區間內上極大值或者極小值點的橫坐標。

（3）極值點出現在函式的駐點（導數為0的點）或不可導點處（導函式不存在，也可以取得極值，此時駐點不存在）。

（4）可導函式的極值點必定是它的駐點。但是反過來，函式的駐點卻不一定是極值點，例如,點是它的駐點，卻不是它的極值點。

（5）極值點上的導數為零或不存在，且函式的單調性必然變化。

定理

若函式在處可導，且是函式的極值點，則

註：若去掉“函式在處可導”的條件，則函式的極值點處不一定有，如；此外，若，則不一定是極值點，如在處，有，但不是的極值點。

判別方法

（1）若函式可導

【第一判別法】若函式可導，，且，有(或）同時，有(或），則是函式的極大點（或極小點）

【第二判別法】若函式存在二階導數，是函式的穩定點，即，而，則當時，是函式的極小點；當時，是函式的極大點。

（2）若函式在一些點不可導，則需要用定義判斷。

計算方法

（1）單變數函式的極值求法

a. 求導數;

b. 求方程的根；

c. 檢查在函式圖象左右的值的符號，如果左正右負，那么在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么在這個根處取得極小值。

特別注意：無意義的點也要討論，即可先求出的根和無意義的點，這些點都稱為可疑點，再用定義去判斷。 例如： 在的導數是不存在的。

（2）二階連續偏導數的函式的極值求法，敘述如下：

a. 解方程組，，求得一切實數解，即可求得一切駐點；

b. 對於每一個駐點，求出二階偏導數的值；

c. 定出的符號，判定是否是極值，是極大值還是極小值。

注意：當函式僅在區域D內的某些孤立點不可導時，這些點不是函式的駐點，但這種點有可能是函式的極值點，要注意另行討論。

極值點與穩定點

方程的解，即稱為函式的穩定點

註：定義不要求函式可導，所以可導函式的極值點必須是穩定點，但穩定點不一定是極值點。