正定矩陣

線上性代數裡，正定矩陣 (positive definite matrix) 有時會簡稱為正定陣。在線性代數中，正定矩陣的性質類似複數中的正實數。與正定矩陣相對應的線性運算元是對稱正定雙線性形式（復域中則對應埃爾米特正定雙線性形式）。

基本介紹

• 中文名：正定矩陣
• 外文名：positive definite matrix
• 別稱：正定陣
• 學科：線性代數
• 釋義：正定二次型的矩陣
• 屬性：高等數學術語

定義

正定矩陣

（1）廣義定義：設M是n階方陣，如果對任何非零向量z，都有z^TMz> 0，其中z^T 表示z的轉置，就稱M為正定矩陣。

例如：B為n階矩陣，E為單位矩陣，a為正實數。在a充分大時，aE+B為正定矩陣。（B必須為對稱陣）

（2）狹義定義：一個n階的實對稱矩陣M是正定的的條件是若且唯若對於所有的非零實係數向量z，都有z^TMz> 0。其中z^T表示z的轉置。

對稱正定矩陣

設，若，對任意的，都有，則稱A為對稱正定矩陣。

Hermite正定矩陣

設，若，對任意的，都有，則稱A為Hermite正定矩陣。

性質

正定矩陣有以下性質：

（1）正定矩陣的行列式恆為正；

（2）實對稱矩陣A正定若且唯若A與單位矩陣契約；

（3）若A是正定矩陣，則A的逆矩陣也是正定矩陣；

（4）兩個正定矩陣的和是正定矩陣；

（5）正實數與正定矩陣的乘積是正定矩陣。

等價命題

對於n階實對稱矩陣A，下列條件是等價的：

（1）A是正定矩陣；

（2）A的一切順序主子式均為正；

（3）A的一切主子式均為正；

（4）A的特徵值均為正；

（5）存在實可逆矩陣C，使A=C′C；

（6）存在秩為n的m×n實矩陣B，使A=B′B；

（7）存在主對角線元素全為正的實三角矩陣R，使A=R′R。

充要條件

(1)n 元實二次型正定它的正慣性指數為 n；

(2) 一個實對稱矩陣 A 正定A 與 E 契約，即可逆矩陣 C，使得；

(3) 實二次型是正定的A的順序主子式全大於零；

(4) 一個實對稱矩陣 A 正定A 的特徵值全大於零；

(5) 一個實對稱矩陣 A 正定A 的順序主子式全大於零；

(6)A ，B 是實對稱矩陣，則正定A，B均正定；

(7)A 實對稱矩陣， A 正定正定矩陣 B，使得，（k 為任意正整數）。

判定的方法

根據正定矩陣的定義及性質，判別對稱矩陣A的正定性有兩種方法：

（1）求出A的所有特徵值。若A的特徵值均為正數，則A是正定的；若A的特徵值均為負數，則A為負定的。

（2）計算A的各階主子式。若A的各階主子式均大於零，則A是正定的；若A的各階主子式中，奇數階主子式為負，偶數階為正，則A為負定的。

套用

對於具體的實對稱矩陣，常用矩陣的各階順序主子式是否大於零來判斷其正定性；對於抽象的矩陣，由給定矩陣的正定性，利用標準型，特徵值及充分必要條件來證相關矩陣的正定性。