GRAM(矩陣)

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在線性代數中，內積空間中一族向量格拉姆矩陣（Gramian matrix 或 Gram matrix, Gramian）是內積的對稱矩陣，其元素由 Gij= (vi| vj)給出。

一個重要的套用是計算線性無關：一族向量線性無關若且唯若格拉姆行列式（格拉姆矩陣的行列式）不等於零。

格拉姆矩陣以丹麥數學家約爾根·佩爾森·格拉姆（Jørgen Pedersen Gram）命名。

最常見地，向量是歐幾里得空間中元素，或 L空間中函式，比如緊區間[a, b] 上的連續函式（是 L（[a, b]）的子集）。

給定區間 [t0,tf]上的實值函式，格拉姆矩陣G= [Gij]，由函式的標準內積給出：

給定一個實矩陣 A，矩陣 A（T）A是 A的列向量的格拉姆矩陣，而矩陣 AA(T)是 A的行向量的格拉姆矩陣。

對一般任何域上的有限維向量空間上的雙線性形式B，我們可對一組向量

定義一個格拉姆矩陣 G為。如果雙線性形式 B對稱則該格拉姆矩陣對稱。

1.半正定

格拉姆矩陣是半正定的，反之每個半正定矩陣是某些向量的格拉姆矩陣。這組向量一般不是惟一的：任何正交基的格拉姆矩陣是恆同矩陣。

這個命題無窮維類比是 Mercer 定理（Mercer's theorem）。

2.基變換

在一個由可逆矩陣 P表示的基變換下，格拉姆矩陣是用 P做一個矩陣契約變為 PGP。

格拉姆行列式（Gram determinant 或 Gramian）是格拉姆矩陣的行列式：在幾何上，格拉姆行列式是這些向量形成的平行多面體的體積之平方。特別地，這些向量線性無關若且唯若格拉姆行列式不為零（若且唯若格拉姆矩陣非奇異）。

如果向量是隨機變數，所得格拉姆矩陣是協方差矩陣。

在量子化學中，一組基向量的格拉姆矩陣是重疊矩陣（Overlap matrix）。

在控制論（或更一般的系統理論中），可控性格拉姆矩陣（controllability Gramian）與可觀測性格拉姆矩陣（observability Gramian）確定了線性系統的性質。

格拉姆矩陣出現在協方差結構模型中（比如可參見 Jamshidian & Bentler (1993)）。