雙線性形式

設V是域F上的(n+1)維向量空間，如果函式σ：V×V→F，滿足條件：

σ(ax₁+bx₂，y)=aσ(x₁，y)+bσ(x₂，y)，a、b∈F，x₁、x₂、y∈V，

σ(x，ay₁+by₂)=aσ(x，y₁)+bσ(x，y₂)，a、b∈F，x、y₁、y₂∈V，

則σ稱為定義在V上的雙線性形式。

基本介紹

• 中文名：雙線性形式
• 外文名：bilinear form
• 所屬學科：數學
• 相關概念：映射、二元映射、共軛線性等

基本介紹

設H是Hilbert空間，是自伴運算元，令

則滿足

(i) ；

(ii) ；

(iii)。

(i)和(ii)實際是說，關於第一個變元x是線性的，從(iii)知關於第二個變元y是共軛線性的，即

我們可以利用上述性質給出一個更一般的概念。

定義1設H是Hilbert空間，如果二元映射滿足：

(i)

(ii) ，

則稱為H上的雙線性形式。

如果條件(ii)代以更強的：

(iii) ，則稱為H上共軛的雙線性形式。

如果一個雙線性形式滿足：

(iv) 存在M≥o，使則稱為有界雙線性形式。

若雙線性形式滿足：

(v)對任意，則稱為自伴雙線性形式。

如果共軛雙線性形式滿足：

(vi)對所有的，則稱為正定的雙線性形式。

注: 雙線性形式關於後一個變數實際上是共軛線性的，故而有的書上又稱雙線性形式為一次半線性形式。

條件(vi)實際上只是半正定性，因為並不能推出，有時候我們仿照內積的記號，記雙線性形式為。

根據定義，對有界運算元是有界的雙線性形式，如果T還是自伴運算元或正運算元，則還是自伴或正定的。

相關定理

除了Hilbert空間上的有界線性運算元誘導的雙線性形式之外，還有沒有其他的雙線性形式?下面我們就來討論這個問題。

定理1

如果是H上的有界雙線性形式，則存在唯一的有界運算元T，使

推論

如果是H上的有界共軛(正定)雙線性形式，則存在唯一的自伴(正)運算元T，使

定義4 Hilbert空間H上的實函式如果滿足：

(i)

(ii)

(iii) 存在M≥o，使，則稱為H上的有界實二次形式。

由此可見，對有界的共軛雙線性形式，是H上的有界實二次形式，那么H上的任一有界實二次形式是否都是由某個共軛雙線性形式誘導的呢?下面的定理回答了這個問題。

定理2

設是Hilbert空間H上的有界實二次形式，則存在唯一的有界共軛雙線性形式，使

推論

如果是H上有界實二次形式，則存在有界自伴運算元T，使。

定理3

如果是H上的正定雙線性形式，則有

特別地，如果T是正運算元，則有

上式稱為廣義Schwarz不等式。