典型群

在數學中，典型群（classical group）指與歐幾里得空間的對稱密切相關的四族無窮多李群。術語“經典”的使用取決於語境，有一定的靈活性。這個用法可能源於赫爾曼·外爾，他的專著 Weyl (1939) 以“典型群”為題。在菲利克斯·克萊因愛爾蘭根綱領的觀點下，也許反映了它們和“經典”幾何（classical geometry）的關係。

有時在緊群的限制下討論典型群，這樣容易處理它們的表示論和代數拓撲。但是這把一般線性群排除在外，當前都認為一般線性群是最典型的群。

和典型李群相對的是例外李群，具有一樣的抽象性質，但不屬於同一類。

基本介紹

• 中文名：典型群
• 外文名：classical group
• 相關術語：例外李群
• 所屬領域：群論
• 創始人：華羅庚
• 套用學科：數學

相關聯繫

和雙線性形式的關係

典型李群共同的特點是它們都與某個特定的雙線性或半雙線性形式的等距同構群密切聯繫。這四類用鄧肯圖示記（下標n≥ 1），可以描述為：

• A_n= SU(n)，特殊酉群，行列式為 1 的n×n酉矩陣。
  
• B_n= SO(2n+1)，特殊正交群， (2n+1)×(2n+1) 行列式為 1 的實正交矩陣。
  
• C_n= Sp(n)，辛群，保持H上的通常內積的n×n四元數矩陣。
  
• D_n= SO(2n)，特殊正交群， 2n×2n行列式為 1 的實正交矩陣。
  

為了某些特定的目的，去掉行列式為 1 的條件考慮酉群和（不連通）正交群也是自然的。表中所列即為所謂連通緊實形式群；在複數域中有相應的類比，以及多種非緊形式，例如，和緊正交群一起可考慮不定正交群。這些群相應的李代數稱為“典型李代數”。

例子

在代數中，考慮更廣泛的典型群，給出特別值得關注的矩陣群。當矩陣群的係數環為實數或複數域時，這些群就是上述的典型李群。

當係數環是有限域時，典型群是李型群。這些群在有限單群的分類中扮演著重要的角色。考慮他們的抽象群理論，許多線性群有一個“特殊”子群，常常由行列式為 1 的元素組成，大部分有一個伴隨的“射影”群，它們是除掉群中心的商群。

“一般”一詞在群的名稱前面通常表示這個群可以用常數乘以某個形式，而不是保持不變。下標n經常表示群作用的模之維數。特別注意：這種記法和 Dynkin 圖中的n（為秩）可能衝突。

線性群

一般線性群GL_n(R) 是某個模的自同構群。有子群特殊線性群SL_n(R) ，以及商群射影一般線性群PGL_n(R) =GL_n(R)/Z(GL_n(R)) 和射影特殊線性群PSL_n(R) =SL_n(R)/Z(SL_n(R))。當n≥2 或n=2 且域R的階數不為 2 或 3 時，域R上的射影特殊線性群PSL_n(R) 為單群。

酉群

酉群U_n(R) 是保持某個模的半雙線性形式的群。有子群特殊酉群SU_n(R)，以及他們的商群射影酉群PU_n(R) =U_n(R)/Z(U_n(R)) 與射影特殊酉群PSU_n(R) =SU_n(R)/Z(SU_n(R))。

辛群

辛群Sp_2n(R) 保持一個模的斜對稱形式。它有一個商群射影辛群PSp_2n(R)。將模的斜對稱形式乘以一個可逆純量的所有自同構組成一般辛群GSp_2n(R) 。除了n=1 且域的階數為 2 或 3 這兩個例外，域R上射影辛群PSp_2n(R) 是單群。

正交群

正交群O_n(R) 保持一個模的非退化二次型。有子群特殊正交群SO_n(R)，以及商群射影正交群PO_n(R) 與射影特殊正交群。在特徵為 2 時，行列式總是 1，故特殊正交群常定義為Dickson 不變數為 1 的元素。

有一個沒有名字的群，經常記為 Ω_n(R)，由所有Spinor 模為 1 的正交群中元素組成。相應的子群和商群為SΩ_n(R)，PΩ_n(R)，PSΩ_n(R)（對實數域上正定二次型，群 Ω 就是正交群，但一般要比正交群小）。Ω_n(R) 也有一個二重複蓋群，稱為Spin 群Spin_n(R)。一般正交群由在二次型上的作用為乘以一個可逆純量的自同構組成。