單群

數學上的單群（英語：Simple group）是指沒有非平凡正規子群的群。任意一個群如果不是單群，都可以作進一步分解而得到一個非平凡正規子群及對應的商群。這個過程可以一直做下去。對於有限群，若爾當-赫爾德定理表明，這個分解過程可以得到該群的唯一的合成列（最多相差一個置換）。在2008年完成的有限單群分類工作是數學史上一個重要的里程碑。

基本介紹

• 中文名：單群
• 外文名：simple group
• 學科：數理科學
• 相關定義：商群、合成列

定義

設 為群，如果其內的正規子群只有 本身與單位元組成的群（平凡群），則稱之為單群。

例子

有限單群

循環群G=Z/3Z，即模3的同餘類在加法運算下形成的群是單群。這是因為，若H是這個群的一個子群，則它的階一定是群G的階3的約數，因為3是素數，所以H只能是G或者平凡群。另一方面，群G=Z/12Z就不是單群。因為任意阿貝爾群的子群一定是正規子群，且12為合數，故很容易找到它的一個非平凡正規子群。例如，由模12餘0，4，8的同餘類組成的子群就是它的一個階為3的正規子群。類似地，整數集Z與加法運算組成的群也不是單群，由偶數集2Z和加法組成的群是它的一個非平凡正規子群。

按照上面的方法可以證明，阿貝爾單群只有素數階循環群。最小的非阿貝爾單群是交錯群，它的階是60，而且可以證明每一個階為60的單群都與同構。第二小的非阿貝爾單群是射影特殊線性群，它的階是168。可以證明，階為168的單群都與 同構。

是有限域上的典型群的一個例子，它也是一個有限階李群。除了素數階循環群、交錯群和有限階李群（包括典型群和例外或纏繞李群）之外的有限單群統稱為散在群，詳見有限單群分類。

無限階單群

無限階交錯群，即由整數的所有偶置換組成的群是單群。另一個無限階單群的例子是域上的射影特殊線性群，其中 。

相比之下，要構造有限生成的無限階單群就困難得多，最早的例子由格雷厄姆·希格曼提出，它是希格曼群的子群。其它的例子包括湯普森群T和V。有限表現無撓(torsion-free)的無限單群被伯格-莫澤什(Burger-Mozes)構建。

分類

到目前為止，未有對一般單群進行分類的方法。

有限單群

主條目：有限單群分類

有限單群是很重要的，因為在一定意義上，它們是所有有限群的“基本組成部分”，有點類似於素數是整數的基本組成部分。

有限單群的結構

法伊特－湯普森定理聲稱，所有的奇數階群都是可解群。因此，除素數階循環群外，所有有限單群的階都是偶數。

群的非單性判據

西羅測試：設n為一正合數，p是它的一個素因子。 若在n的所有約數中只有 1 模p同餘於 1，則不存在階為n的單群。

證明：如n為一素數冪，則階數為n的群有非平凡的中心，因而不是單群。若n不是素數冪，則階數為n的群的每一個西羅子群都是真子群，由西羅第三定理可知， 階數為n的群的西羅p-子群的個數模p同餘於1且為n的約數。但由上面的假設，這樣的數只有1，這表明該群只有一個西羅p-子群，因此，根據西羅定理，該西羅子群是正規子群。根據上面的討論，它又是一個真子群，從而它是階數為n的群的一個非平凡正規子群，所以階數為n的群不是單群。

重要性

“單群”之“單”在於它們不能再化約為較容易處理的群，因為正規子群 可以對將 的一部分研究化約為對商群 與 的研究，而對單群無法行此化約。

有限單群之於有限群論，一如素數之於整數論；它們可以被視為有限群的基本構件。